Вариант А2. 1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ∆AOD = ∆BOC. б) Найдите ∠OBC, если ∠ODA = 40°, ∠BOC = 95°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.

Вариант А2

1. 
   

   а) Доказательство:

   
   

   Сумма углов треугольника ABC равна 180°.

   
   

   \( \angle B = 180° - (\angle A + \angle C) \)

   
   

   \( \angle B = 180° - (100° + 40°) \)

   
   

   \( \angle B = 180° - 140° \)

   
   

   \( \angle B = 40° \)

   
   

   Так как \( \angle C = \angle B = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Боковыми сторонами являются стороны AB и AC.

   
   


2. 
   

   б) Нахождение углов, которые биссектриса СК образует со стороной АВ:

   
   

   CK — биссектриса угла C. Она делит \( \angle C \) пополам.

   
   

   \( \angle ACK = \angle KCB = \frac{\angle C}{2} = \frac{40°}{2} = 20° \)

   
   

   Рассмотрим треугольник KCB. Сумма углов треугольника равна 180°.

   
   

   \( \angle CKB = 180° - (\angle KCB + \angle B) \)

   
   

   \( \angle CKB = 180° - (20° + 40°) \)

   
   

   \( \angle CKB = 180° - 60° \)

   
   

   \( \angle CKB = 120° \)

   
   

   Угол AKC и угол CKB — смежные, их сумма равна 180°.

   
   

   \( \angle AKC = 180° - \angle CKB = 180° - 120° = 60° \)

   
   

   Углы, которые биссектриса СК образует со стороной AB, это углы ∠AKC и ∠BKC.

   
   


3. 
   

   а) Доказательство равенства треугольников ∆AOD и ∆BOC:

   
   

   Дано: AB и CD пересекаются в точке O, AO = OB, CO = OD (так как O — середина отрезков AB и CD).

   
   

   Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, следовательно, \( \angle AOD = \angle BOC \).

   
   

   По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle AOD = \triangle BOC \).

   
   


4. 
   

   б) Нахождение ∠OBC:

   
   

   Из равенства треугольников \( \triangle AOD = \triangle BOC \) следует, что \( \angle OAD = \angle OBC \) и \( \angle ODA = \angle OCB \).

   
   

   Нам дано \( \angle ODA = 40° \), значит \( \angle OCB = 40° \).

   
   

   В треугольнике BOC: \( \angle BOC = 95° \), \( \angle OCB = 40° \).

   
   

   Сумма углов треугольника равна 180°.

   
   

   \( \angle OBC = 180° - (\angle BOC + \angle OCB) \)

   
   

   \( \angle OBC = 180° - (95° + 40°) \)

   
   

   \( \angle OBC = 180° - 135° \)

   
   

   \( \angle OBC = 45° \)

   
   


5. 
   

   Нахождение длины основания:

   
   

   В равнобедренном треугольнике две стороны равны (боковые стороны), а третья — основание. Периметр равен сумме длин всех сторон.

   
   

   Возможны два случая:

   
   
   
   
   1. Сторона длиной 20 см — основание.
   
   
   
   

   Пусть основание AC = 20 см. Тогда боковые стороны AB = BC = x.

   
   

   Периметр = AB + BC + AC = x + x + 20 = 2x + 20.

   
   

   2x + 20 = 80

   
   

   2x = 80 - 20

   
   

   2x = 60

   
   

   x = 30 см.

   
   

   В этом случае боковые стороны равны 30 см.

   
   
   
   
   1. Сторона длиной 20 см — боковая сторона.
   
   
   
   

   Пусть AB = BC = 20 см. Тогда основание AC = x.

   
   

   Периметр = AB + BC + AC = 20 + 20 + x = 40 + x.

   
   

   40 + x = 80

   
   

   x = 80 - 40

   
   

   x = 40 см.

   
   

   В этом случае основание равно 40 см. Проверим условие существования треугольника: сумма двух меньших сторон должна быть больше большей. 20 + 20 = 40. Это не выполняется (40 не больше 40). Следовательно, этот случай невозможен.

   
   

Ответ: Длина основания треугольника равна 30 см.