Вариант А2. 1. В треугольнике ABC ∠C = 60°, AC = 5, BC = 3. Найти сторону AB. 2. В треугольнике ABC ∠C = 135°, AB = 4√2, BC = 4. Найти ∠A, ∠B. 3. В треугольнике ABC AC = 4√3, AB = 4, BC = 8. Найти ∠B. 4. В треугольнике ABC ∠C = 60°, AB = 3√3. Найти радиус описанной окружности R. 5. В треугольнике ABC AB = 3√2, AC = 4, Sₐᵦ꜀ = 12. Найти BC.

По теореме косинусов:

\(AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cos C=25+9-30\cdot\frac12=19\).

Ответ: \(AB=\sqrt{19}\).

Здесь \(a=BC=4\), \(c=AB=4\sqrt2\). По теореме синусов:

\(\frac{\sin A}{4}=\frac{\sin135^\circ}{4\sqrt2}\), поэтому \(\sin A=\frac12\). Поскольку \(A+B=45^\circ\), получаем \(A=30^\circ\), \(B=15^\circ\).

Ответ: \(\angle A=30^\circ,\ \angle B=15^\circ\).

По теореме косинусов:

\(\cos B=\frac{BC^2+AB^2-AC^2}{2\cdot BC\cdot AB}=\frac{64+16-48}{64}=\frac12\).

Ответ: \(\angle B=60^\circ\).

По теореме синусов \(AB=2R\sin C\), поэтому \(R=\frac{3\sqrt3}{2\sin60^\circ}=3\).

Ответ: \(R=3\).

Стороны \(AB=3\sqrt2\) и \(AC=4\) образуют угол \(A\). Площадь треугольника не может превышать половину произведения этих сторон, поскольку \(\sin A\leq1\):

\(S_{ABC}=\frac12\cdot3\sqrt2\cdot4\cdot\sin A\leq6\sqrt2\approx8.49\).

Но по условию площадь равна \(12\), что больше возможного максимума. Следовательно, данные противоречивы.

Ответ: такого треугольника не существует; найти BC по этим данным нельзя.