Вариант А2 1. В треугольнике ABC ∠A = 100°, ∠C = 40°. а) Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный, и укажите его боковые стороны. б) Отрезок СК — биссектриса данного треугольника. Найдите углы, которые она образует со стороной АВ. 2. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них а) Докажите, что ∆AOD = ∆BOC. б) Найдите ∠OBC, если ∠ODA = 40°, ∠BOC = 95°. 3. В равнобедренном треугольнике с периметром 80 см одна из сторон равна 20 см. Найдите длину основания треугольника.

Решение:

1. 1. а) Доказательство равнобедренности треугольника ABC:
   Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle B = 180° - \angle A - \angle C = 180° - 100° - 40° = 40° \>.
   Так как \( \angle C = \angle B = 40° \), то треугольник ABC является равнобедренным с основанием BC. Боковые стороны — AB и AC.
2. 1. б) Нахождение углов, образуемых биссектрисой СК:
   Биссектриса СК делит угол C пополам: \( \angle SCK = \angle KCB = \frac{1}{2} \angle C = \frac{1}{2} × 40° = 20° \>.
   В треугольнике BKC: \( \angle BKC = 180° - \angle B - \angle KCB = 180° - 40° - 20° = 120° \>.
   Угол ∠AKC смежный с ∠BKC: \( \angle AKC = 180° - \angle BKC = 180° - 120° = 60° \>.
   Углы, которые биссектриса СК образует со стороной AB, это углы ∠CKA и ∠CKB.
3. 2. а) Доказательство равенства ∆AOD и ∆BOC:
   По условию, точки О — середина АВ и CD. Значит, AO = OB и DO = OC.
   Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, поэтому \( \angle AOD = \angle BOC \>.
   По двум сторонам и углу между ними (II признак равенства треугольников), \( \triangle AOD = \triangle BOC \>.
   
4. 2. б) Нахождение ∠OBC:
   В треугольнике ∆AOD: \( \angle DAO + \angle AOD + \angle ODA = 180° \). \( \angle DAO + 95° + 40° = 180° \>.
   \( \angle DAO = 180° - 135° = 45° \>.
   Так как \( \triangle AOD = \triangle BOC \) (из пункта 2.а), то \( \angle DAO = \angle CBO \) и \( \angle ODA = \angle OCB \>.
   Следовательно, \( \angle OBC = \angle DAO = 45° \>.
5. 3. Нахождение длины основания:
   Пусть стороны равнобедренного треугольника равны \( a, a, b \). Периметр \( P = 2a + b = 80 \) см.
   Случай 1: Боковая сторона \( a = 20 \) см. Тогда \( 2 × 20 + b = 80 \), \( 40 + b = 80 \), \( b = 40 \) см. Стороны треугольника: 20, 20, 40. Сумма двух меньших сторон равна большей: \( 20 + 20 = 40 \). Такой треугольник не существует (нарушено неравенство треугольника).
   Случай 2: Основание \( b = 20 \) см. Тогда \( 2a + 20 = 80 \), \( 2a = 60 \), \( a = 30 \) см. Стороны треугольника: 30, 30, 20. Неравенство треугольника выполняется: \( 30 + 20 > 30 \).

Ответ: 1. а) Треугольник ABC равнобедренный, боковые стороны AB и AC. 1. б) Углы ∠CKA = 60° и ∠CKB = 120°. 2. б) ∠OBC = 45°. 3. 20 см.