2 вариант. 1. ABCD - квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикуляриа к плоскости квадрата. а) Докажите, что МА=MB=MC=MD. б) Найдите МА, если АВ=4 см, ОМ-1см.

2 вариант.

1. ABCD - квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикуляриа к плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА=MB=MC=MD.

Рассмотрим треугольники ΔАОМ, ΔВОМ, ΔСОМ и ΔDОМ. Они прямоугольные, так как ОМ перпендикулярна плоскости квадрата. АО = ВО = СО = DО, так как О – центр квадрата, значит, является точкой пересечения его диагоналей, которые в точке пересечения делятся пополам. ОМ – общий катет. Следовательно, треугольники ΔАОМ, ΔВОМ, ΔСОМ и ΔDОМ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует, что МА = МВ = МС = MD, что и требовалось доказать.

б) Найдите МА, если АВ=4 см, ОМ=1см.

Так как АВ = 4 см, то АО = ½ * АС, где АС – диагональ квадрата АВСD. Диагональ квадрата равна $$AC = AB \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$$ см.

Тогда АО = ½ * 4√2 = 2√2 см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔАОМ. По теореме Пифагора:

МА² = АО² + ОМ² = (2√2)² + 1² = 8 + 1 = 9

МА = √9 = 3 см.

Ответ: а) доказано, МА = МВ = МС = MD; б) МА = 3 см.