2 вариант. 1. ABCD - квадрат, точка О - его центр. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости квадрата. а) Докажите, что МА-МВ-МC-MD. 6) Найдите МА, если АВ=4 см, ОМ-1см.

2 вариант

1. ABCD – квадрат, точка О – его центр. Прямая ОМ перпендикулярна плоскости квадрата.

а) Докажите, что МА=МВ=МC=MD.

Доказательство:

Т.к. ABCD – квадрат, то О – точка пересечения диагоналей, т.е. О – точка равноудаленная от всех вершин квадрата ABCD, т.е. ОА = ОВ = ОС = OD.

Рассмотрим треугольники ΔMAO, ΔMBO, ΔMCO и ΔMDO. Они прямоугольные, т.к. ОМ перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, т.е. ОМ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости.

В этих треугольниках катет ОМ – общий, катеты ОА = ОВ = ОС = OD, следовательно, данные треугольники равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство гипотенуз, т.е. МА = МВ = МС = MD. Что и требовалось доказать.

б) Найдите МА, если АВ=4 см, ОМ=1см.

Решение:

Т.к. ABCD – квадрат, то AO = (1/2) * d, где d – диагональ квадрата.

Диагональ d найдем по формуле $$d = a\sqrt{2}$$, где а – сторона квадрата.

$$d = 4\sqrt{2}$$ см.

Тогда $$AO = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔMAO. В нем $$MA = \sqrt{AO^2 + MO^2}$$.

$$MA = \sqrt{(2\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{8 + 1} = \sqrt{9} = 3$$ см.

Ответ: 3 см