Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
Вариант 1 ABCDA1B1C1D1 - усечённая четырехугольная пирамида ABCD, A1B1C1D1 – квадраты АВ = 8 см, А1В1 = 4 см 001 = 2√2 см Найти: 1) AA1, BB1, CC1, DD₁ — боковые рёбра 2) SABCD, SA1B1C1D1 площади оснований 3) Ѕбок - площадь боковой поверхности 4) Sполное площадь полной поверхности ACZ 1824 822
Ответ:
Решение:
- Боковые ребра усеченной пирамиды равны. Для нахождения бокового ребра рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOA_1$$, где $$AO$$ - половина диагонали квадрата $$ABCD$$, то есть $$AO = \frac{1}{2}AC$$. Найдем диагональ $$AC$$ квадрата $$ABCD$$ со стороной $$AB = 8$$ см: $$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 8^2} = \sqrt{2 \cdot 8^2} = 8\sqrt{2} \text{ см}$$ Тогда $$AO = \frac{1}{2} \cdot 8\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ см}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AOA_1$$. По теореме Пифагора найдем $$AA_1$$: $$AA_1 = \sqrt{AO^2 + OO_1^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{32 + 8} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \text{ см}$$
- Площади оснований: $$S_{ABCD} = AB^2 = 8^2 = 64 \text{ см}^2$$ $$S_{A_1B_1C_1D_1} = A_1B_1^2 = 4^2 = 16 \text{ см}^2$$
- Площадь боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из 4 равных трапеций. Найдем площадь одной трапеции $$ABB_1A_1$$. Проведем высоту $$A_1H$$ в трапеции $$ABB_1A_1$$. Тогда $$AH = \frac{AB - A_1B_1}{2} = \frac{8 - 4}{2} = 2 \text{ см}$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1H$$. Найдем $$A_1H$$: $$A_1H = \sqrt{AA_1^2 - AH^2} = \sqrt{(2\sqrt{10})^2 - 2^2} = \sqrt{40 - 4} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}$$ Площадь трапеции $$ABB_1A_1$$ равна: $$S_{ABB_1A_1} = \frac{AB + A_1B_1}{2} \cdot A_1H = \frac{8 + 4}{2} \cdot 6 = 6 \cdot 6 = 36 \text{ см}^2$$ $$S_{\text{бок}} = 4 \cdot S_{ABB_1A_1} = 4 \cdot 36 = 144 \text{ см}^2$$
- Площадь полной поверхности: $$S_{\text{полн}} = S_{ABCD} + S_{A_1B_1C_1D_1} + S_{\text{бок}} = 64 + 16 + 144 = 224 \text{ см}^2$$
Ответ: 1) $$AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = 2\sqrt{10} \text{ см}$$; 2) $$S_{ABCD} = 64 \text{ см}^2$$, $$S_{A_1B_1C_1D_1} = 16 \text{ см}^2$$; 3) $$S_{\text{бок}} = 144 \text{ см}^2$$; 4) $$S_{\text{полн}} = 224 \text{ см}^2$$.
