Вариант А2 1 Боковое ребро правильной тре- угольной призмы равно 9 см, а диагональ боковой грани равна 15 см. Найдите площа- ди боковой и полной поверх- ностей призмы.

Для решения задачи необходимо знать формулы для вычисления площади боковой и полной поверхности правильной треугольной призмы.

1) Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы (боковое ребро). Поскольку призма правильная треугольная, в основании лежит равносторонний треугольник.

2) Пусть сторона основания равна a. Тогда диагональ боковой грани является гипотенузой прямоугольного треугольника, один катет которого - боковое ребро (9 см), а другой катет - сторона основания (a).

3) По теореме Пифагора:

$$a^2 + 9^2 = 15^2$$

$$a^2 + 81 = 225$$

$$a^2 = 225 - 81$$

$$a^2 = 144$$

$$a = \sqrt{144} = 12 \text{ см}$$

4) Периметр основания:

$$P = 3a = 3 \cdot 12 = 36 \text{ см}$$

5) Площадь боковой поверхности:

$$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 36 \cdot 9 = 324 \text{ см}^2$$

6) Площадь основания:

$$S_{\text{осн}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{12^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{144 \sqrt{3}}{4} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2$$

7) Площадь полной поверхности:

$$S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 324 + 2 \cdot 36\sqrt{3} = 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Ответ: $$S_{\text{бок}} = 324 \text{ см}^2$$, $$S_{\text{полн}} = 324 + 72\sqrt{3} \text{ см}^2$$