Вариант А2 кро Найдите синус, косинус и тангенс меньшего острого угла прямоугольного тре- угольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника. 3 в пикесе Найдите острые углы пря- моугольного треугольника, если его катеты равны 2,5√3 см и 2,5 см.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике с катетом 40 см и гипотенузой 41 см найти синус, косинус и тангенс меньшего острого угла.

• Найдем второй катет треугольника по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{41^2 - 40^2} = \sqrt{1681 - 1600} = \sqrt{81} = 9\]

• Катет 9 см является меньшим, значит, он лежит напротив меньшего угла.
• Синус угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[sin(\alpha) = \frac{9}{41} \approx 0.22\]

• Косинус угла \(\alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\[cos(\alpha) = \frac{40}{41} \approx 0.98\]

• Тангенс угла \(\alpha\) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[tan(\alpha) = \frac{9}{40} = 0.225\]

Ответ: \[sin(\alpha) \approx 0.22, cos(\alpha) \approx 0.98, tan(\alpha) = 0.225\]

Задание 2

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 20 см, а косинус одного из острых углов равен 0,8. Найдите катеты этого треугольника.

• Пусть дан угол \(\alpha\), \(cos(\alpha) = 0.8 = \frac{4}{5}\).
• Косинус угла \(\alpha\) равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

\[cos(\alpha) = \frac{b}{c}\]

• Выразим катет b:

\[b = c \cdot cos(\alpha) = 20 \cdot 0.8 = 16\]

• Найдем второй катет a по теореме Пифагора:

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{20^2 - 16^2} = \sqrt{400 - 256} = \sqrt{144} = 12\]

Ответ: Катеты треугольника равны 12 см и 16 см.

Задание 3

Найдите острые углы прямоугольного треугольника, если его катеты равны \(2.5\sqrt{3}\) см и 2,5 см.

• Пусть a = \(2.5\sqrt{3}\) см, b = 2.5 см.
• Найдем тангенс угла, противолежащего катету a:

\[tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{2.5\sqrt{3}}{2.5} = \sqrt{3}\]

• Угол, тангенс которого равен \(\sqrt{3}\), равен 60 градусов.
• Второй острый угол равен:

\[90 - 60 = 30\]

Ответ: Острые углы равны 30 и 60 градусов.