Вариант А2 1 Отрезок КА - перпендикуляр к плоскости параллелограмма ABCD, KDICD. а) Докажите, что ABCD - прямоугольник. б) Докажите перпендикуляр- ность плоскостей KAD И АВС. в) Найдите АС, если КА = = 8 см, KD = 10 см, ∠CAD = = 60°. 2 = Катет АВ прямоугольного тре- угольника АBC (∠B = 90°) ле- жит в плоскости а. Найдите расстояние от точки С до плос- кости а, если АС = = 17 см, АВ = 15 см, а двугранный угол между плоскостями АВС и а равен 45°.

Привет! Сейчас я помогу тебе решить эту задачу. Будь внимателен и у тебя все получится!

Задание 1

а) Доказать, что ABCD - прямоугольник.

Так как KA перпендикулярна плоскости ABCD и KD перпендикулярна CD, то угол ADC прямой. Аналогично, угол KDA прямой. Следовательно, ABCD - прямоугольник, так как все углы прямые.

б) Доказать перпендикулярность плоскостей KAD и ABC.

Так как KA перпендикулярна плоскости ABCD, то KA перпендикулярна AB и AD. Следовательно, плоскость KAD перпендикулярна плоскости ABC.

в) Найти AC, если KA = 8 см, KD = 10 см, ∠CAD = 60°.

Рассмотрим треугольник KAD. Так как KD перпендикулярна CD, то KDA - прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора, AD = \(\sqrt{KD^2 - KA^2}\) = \(\sqrt{10^2 - 8^2}\) = \(\sqrt{100 - 64}\) = \(\sqrt{36}\) = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ACD, ∠CAD = 60°, AD = 6 см. Тогда AC = AD / cos(60°) = 6 / 0.5 = 12 см.

Задание 2

Катет AB прямоугольного треугольника ABC (∠B = 90°) лежит в плоскости α. Найдите расстояние от точки С до плоскости α, если AC = 17 см, AB = 15 см, а двугранный угол между плоскостями ABC и α равен 45°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора, BC = \(\sqrt{AC^2 - AB^2}\) = \(\sqrt{17^2 - 15^2}\) = \(\sqrt{289 - 225}\) = \(\sqrt{64}\) = 8 см.

Пусть CH - перпендикуляр из точки C на плоскость α. Тогда CH - искомое расстояние. Угол между плоскостями ABC и α равен углу между BC и его проекцией на плоскость α. Обозначим проекцию BC на плоскость α как BD. Тогда угол CBD = 45°.

В прямоугольном треугольнике CBD, CH = BC \(\cdot\) sin(45°) = 8 \(\cdot\) (\(\sqrt{2}\) / 2) = 4\(\sqrt{2}\) см.