Вариант 2 Апофема правильной четырехугольной пирамиды равна 2а, высота пирамиды равна а Ѵ2. Найдите: а) сторону основания пирамиды; б) угол между боковой гранью и основанием; в) площадь поверхности пирамиды; г) расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Решение:

Обозначим сторону основания пирамиды как b, высоту пирамиды как h, апофему как d.

а) Найдем сторону основания пирамиды.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора:

\[(\frac{b}{2})^2 + h^2 = d^2\]

Подставим известные значения: h = a\(\sqrt{2}\) и d = 2a:

\[(\frac{b}{2})^2 + (a\sqrt{2})^2 = (2a)^2\] \[(\frac{b}{2})^2 + 2a^2 = 4a^2\] \[(\frac{b}{2})^2 = 2a^2\] \[\frac{b}{2} = a\sqrt{2}\] \[b = 2a\sqrt{2}\]

Сторона основания пирамиды равна 2a\(\sqrt{2}\).

б) Найдем угол между боковой гранью и основанием.

Угол между боковой гранью и основанием — это угол между апофемой и половиной стороны основания. Обозначим этот угол как \(\alpha\).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой:

\[tg(\alpha) = \frac{h}{\frac{b}{2}}\]

Подставим известные значения: h = a\(\sqrt{2}\) и b = 2a\(\sqrt{2}\):

\[tg(\alpha) = \frac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1\] \[\alpha = arctg(1) = 45^\circ\]

Угол между боковой гранью и основанием равен 45°.

в) Найдем площадь поверхности пирамиды.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания:

\[S_{осн} = b^2 = (2a\sqrt{2})^2 = 8a^2\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{бок} = \frac{1}{2}P_{осн} \cdot d\]

Периметр основания:

\[P_{осн} = 4b = 4 \cdot 2a\sqrt{2} = 8a\sqrt{2}\]

Тогда:

\[S_{бок} = \frac{1}{2} \cdot 8a\sqrt{2} \cdot 2a = 8a^2\sqrt{2}\]

Площадь полной поверхности:

\[S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 8a^2 + 8a^2\sqrt{2} = 8a^2(1 + \sqrt{2})\]

Площадь поверхности пирамиды равна 8a\(^2\)(1 + \(\sqrt{2}\)).

г) Найдем расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани.

Обозначим расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани как x.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половиной стороны основания, апофемой и расстоянием x. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:

\[\frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2} \cdot h_\triangle = \frac{1}{2} \cdot d \cdot x\]

где h\(_\triangle\) - высота треугольника, проведенная к стороне \(\frac{b}{2}\), и она же равна половине стороны основания.

\[h_\triangle= a\sqrt{2}\]

Подставим известные значения: b = 2a\(\sqrt{2}\), d = 2a:

\[\frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot a\sqrt{2} = \frac{1}{2} \cdot 2a \cdot x\] \[a^2 = ax\] \[x = a\]

Расстояние от центра основания пирамиды до плоскости боковой грани равно a.