Вариант Б1 ① Дано: а|| b; с секущая; 21:27:2. Найти: все образовавшиеся углы. 2 Найдите углы треугольника АВС, если угол А на 60° мень- ше угла В и в 2 раза меньше угла С. 3 Впрямоугольном треугольни- ке АВС (С = 90°) биссектри- сы CD и АЕ пересекаются в точке О, ∠AOC = 105°. Найди- те острые углы треугольни- ка АВС. Решить вариант Б1

Задание 1

• Пусть \(\angle 2 = 2x\), тогда \(\angle 1 = 7x\).
• Сумма смежных углов равна 180°, значит, \(7x + 2x = 180°\).
• Решаем уравнение:

\(9x = 180°\)

\(x = 20°\)

• \(\angle 2 = 2 \cdot 20° = 40°\)
• \(\angle 1 = 7 \cdot 20° = 140°\)

• Угол, вертикальный углу 2, также равен 40°.
• Угол, вертикальный углу 1, также равен 140°.
• Соответственные углы при параллельных прямых равны, следовательно, оставшиеся углы равны 40° и 140°.

Ответ: углы равны 40°, 140°, 40°, 140°, 40°, 140°, 40°, 140°.

Задание 2

• Пусть \(\angle A = x\), тогда \(\angle B = x + 60°\), \(\angle C = 2x\).
• Сумма углов треугольника равна 180°, значит, \(x + (x + 60°) + 2x = 180°\).
• Решаем уравнение:

\(4x + 60° = 180°\)

\(4x = 120°\)

\(x = 30°\)

• \(\angle A = 30°\)
• \(\angle B = 30° + 60° = 90°\)
• \(\angle C = 2 \cdot 30° = 60°\)

Ответ: углы треугольника равны 30°, 90° и 60°.

Задание 3

• В прямоугольном треугольнике \(\angle C = 90°\). Биссектрисы углов A и C пересекаются в точке O. Дано, что \(\angle AOC = 105°\).
• Рассмотрим треугольник AOC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, значит, \(\angle OAC + \angle OCA = 180° - 105° = 75°\).
• Так как CD и AE — биссектрисы, то \(\angle A = 2 \cdot \angle OAC\) и \(\angle C = 2 \cdot \angle OCA\).

Следовательно, \(\angle A + \angle C = 2 \cdot (\angle OAC + \angle OCA) = 2 \cdot 75° = 150°\).

• Но у нас прямоугольный треугольник, значит, сумма острых углов равна 90°. Противоречие.
• Ошибка в условии: \(\angle AOC = 105°\) невозможен.

Предположим, что в условии \(\angle BOC = 105°\).

• Тогда \(\angle OBC + \angle OCB = 180° - 105° = 75°\).
• Так как CD и BE — биссектрисы, то \(\angle B = 2 \cdot \angle OBC\) и \(\angle C = 2 \cdot \angle OCB\).

Следовательно, \(\angle B + \angle C = 2 \cdot (\angle OBC + \angle OCB) = 2 \cdot 75° = 150°\).

• Но у нас прямоугольный треугольник, значит, \(\angle B + \angle A = 90°\). Противоречие.
• Тогда, \(\angle BOC = 105°\) тоже невозможен.

Предположим, что в условии \(\angle AOB = 105°\).

• Тогда \(\angle OAB + \angle OBA = 180° - 105° = 75°\).
• Так как AE и BD — биссектрисы, то \(\angle A = 2 \cdot \angle OAB\) и \(\angle B = 2 \cdot \angle OBA\).

Следовательно, \(\angle A + \angle B = 2 \cdot (\angle OAB + \angle OBA) = 2 \cdot 75° = 150°\).

• Но у нас прямоугольный треугольник, значит, \(\angle A + \angle B = 90°\). Противоречие.

Вывод: Угол, образованный пересечением биссектрис, не может быть больше 90°.