Вариант Б1. 1) Дана арифметическая прогрессия 29; 24; … а) Найдите 31-й член прогрессии. б) Определите, входит ли в данную прогрессию число −41. 2) а) Между числами 1 и 4 вставьте 8 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию, и найдите её разность. б) Найдите сумму членов полученной прогрессии. 3) Арифметическая прогрессия задана формулой aₙ = 98 − 5n. а) Найдите сумму положительных членов данной прогрессии. б) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 14-й включительно.

1.

Первый член: \(a_1=29\). Разность: \(d=24-29=-5\).

а) Используем формулу \(a_n=a_1+(n-1)d\):

\(a_{31}=29+30\cdot(-5)=29-150=-121\).

б) Найдём номер, при котором \(a_n=-41\):

\(29+(n-1)(-5)=-41\);
\(5(n-1)=70\);
\(n-1=14\);
\(n=15\).

Следовательно, число \(-41\) входит в прогрессию и является её 15-м членом.

Ответ: а) \(a_{31}=-121\); б) входит, \(a_{15}=-41\).

2.

После вставки 8 чисел получится 10 членов прогрессии. Поэтому между первым и последним членами будет 9 равных промежутков:

\(d=\dfrac{4-1}{9}=\dfrac{1}{3}\).

а) Полученная прогрессия:

\(1;\ \dfrac{4}{3};\ \dfrac{5}{3};\ 2;\ \dfrac{7}{3};\ \dfrac{8}{3};\ 3;\ \dfrac{10}{3};\ \dfrac{11}{3};\ 4\).

б) Сумма 10 членов:

\(S_{10}=\dfrac{(1+4)\cdot10}{2}=25\).

Ответ: а) \(d=\dfrac{1}{3}\); б) \(S_{10}=25\).

3.

Дана формула \(a_n=98-5n\).

а) Положительные члены удовлетворяют условию:

\(98-5n>0\);
\(n<19.6\).

Значит, положительные члены имеют номера от 1 до 19. Найдём крайние из них:

\(a_1=98-5=93\), \(a_{19}=98-95=3\).

\(S_{19}=\dfrac{(93+3)\cdot19}{2}=912\).

б) Найдём \(a_5\) и \(a_{14}\):

\(a_5=98-25=73\), \(a_{14}=98-70=28\).

Количество членов: \(14-5+1=10\).

\(S=\dfrac{(73+28)\cdot10}{2}=505\).

Ответ: а) 912; б) 505.