Вариант Б1. 1. Вычислите: а) sin 30° cos 60° − sin² 45°; б) 2 cos 180° − sin² 270°. 2. Найдите значение выражения tg 2α ctg α − sin 3α при α = 30°. 3. Укажите три значения β, при которых sin β = √3/2. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 3 cos α − 2.

а) Подставим значения тригонометрических функций: \(\sin 30^\circ=\frac12\), \(\cos 60^\circ=\frac12\), \(\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\).

\(\sin 30^\circ\cos 60^\circ-\sin^2 45^\circ=\frac12\cdot\frac12-\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac14-\frac12=-\frac14.\)

б) \(\cos 180^\circ=-1\), \(\sin 270^\circ=-1\), поэтому \(2\cos 180^\circ-\sin^2 270^\circ=2(-1)-(-1)^2=-3.\)

Ответ: а) \(-\frac14\); б) \(-3\).

При \(\alpha=30^\circ\): \(2\alpha=60^\circ\), \(3\alpha=90^\circ\). Тогда

\(\tan 60^\circ\cdot\cot 30^\circ-\sin 90^\circ=\sqrt3\cdot\sqrt3-1=2.\)

Ответ: 2.

Уравнение \(\sin\beta=\frac{\sqrt3}{2}\) выполняется, например, при \(\beta=60^\circ\) и \(\beta=120^\circ\); период синуса равен \(360^\circ\), поэтому можно взять также \(420^\circ=60^\circ+360^\circ\).

Ответ: например, \(60^\circ, 120^\circ, 420^\circ\).

Так как \(-1\leq\cos\alpha\leq1\), то при умножении на 3 и вычитании 2 получаем \(-5\leq3\cos\alpha-2\leq1\). Границы достигаются при \(\cos\alpha=-1\) и \(\cos\alpha=1\).

Ответ: наибольшее значение — 1, наименьшее — −5.