Вариант Б1. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13, 14 и 15 см. Все двугранные углы при основании пирамиды равны 45°. Найдите объём.

Полупериметр основания: \(p=\frac{13+14+15}{2}=21\) см.

По формуле Герона площадь основания:

\(S=\sqrt{21\cdot(21-13)\cdot(21-14)\cdot(21-15)}=\sqrt{21\cdot8\cdot7\cdot6}=84\) см².

Расстояние от проекции вершины пирамиды до каждой стороны основания одинаково: в прямоугольном сечении через высоту пирамиды и перпендикуляр к стороне \(\tan 45^\circ=\frac{h}{d}=1\), значит, \(h=d\). Поэтому проекция вершины — центр вписанной окружности основания, а \(d\) равно радиусу этой окружности.

Радиус вписанной окружности: \(r=\frac{S}{p}=\frac{84}{21}=4\) см. Следовательно, высота пирамиды \(h=4\) см.

Объём пирамиды:

\(V=\frac13Sh=\frac13\cdot84\cdot4=112\) см³.

Ответ: 112 см³.