Вариант Б2. 1) Дана арифметическая прогрессия −31; −27; … а) Найдите 31-й член прогрессии. б) Определите, входит ли в данную прогрессию число 41. 2) а) Между числами 1 и 4 вставьте 10 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметическую прогрессию, и найдите её разность. б) Найдите сумму членов полученной прогрессии. 3) Арифметическая прогрессия задана формулой aₙ = 6n − 121. а) Найдите сумму отрицательных членов данной прогрессии. б) Найдите сумму членов данной прогрессии с 5-го по 14-й включительно.

1.

Первый член: \(a_1=-31\). Разность: \(d=-27-(-31)=4\).

а) Используем формулу \(a_n=a_1+(n-1)d\):

\(a_{31}=-31+30\cdot4=-31+120=89\).

б) Найдём номер, при котором \(a_n=41\):

\(-31+4(n-1)=41\);
\(4(n-1)=72\);
\(n-1=18\);
\(n=19\).

Следовательно, число 41 входит в прогрессию и является её 19-м членом.

Ответ: а) \(a_{31}=89\); б) входит, \(a_{19}=41\).

2.

После вставки 10 чисел получится 12 членов прогрессии. Между первым и последним членами будет 11 равных промежутков:

\(d=\dfrac{4-1}{11}=\dfrac{3}{11}\).

б) Сумма 12 членов:

\(S_{12}=\dfrac{(1+4)\cdot12}{2}=30\).

Ответ: а) \(d=\dfrac{3}{11}\); б) \(S_{12}=30\).

3.

Дана формула \(a_n=6n-121\).

а) Отрицательные члены удовлетворяют условию:

\(6n-121<0\);
\(n<\dfrac{121}{6}\approx20.17\).

Значит, отрицательные члены имеют номера от 1 до 20. Найдём крайние из них:

\(a_1=6-121=-115\), \(a_{20}=120-121=-1\).

\(S_{20}=\dfrac{(-115-1)\cdot20}{2}=-1160\).

б) Найдём \(a_5\) и \(a_{14}\):

\(a_5=30-121=-91\), \(a_{14}=84-121=-37\).

Количество членов: \(14-5+1=10\).

\(S=\dfrac{(-91-37)\cdot10}{2}=-640\).

Ответ: а) −1160; б) −640.