Вариант Б2. 1. Вычислите: а) cos 30° sin 60° + cos² 45°; б) 3 sin 90° − cos² 0°. 2. Найдите значение выражения tg α ctg (α/2) + cos 3α при α = 60°. 3. Укажите три значения β, при которых cos β = 1/2. 4. Найдите наибольшее и наименьшее значения выражения 1 + 4 sin α.

а) \(\cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\). Поэтому

\(\cos 30^\circ\sin 60^\circ+\cos^2 45^\circ=\frac34+\frac12=\frac54.\)

б) \(\sin 90^\circ=1\), \(\cos 0^\circ=1\), значит \(3\sin 90^\circ-\cos^2 0^\circ=3-1=2.\)

Ответ: а) \(\frac54\); б) 2.

При \(\alpha=60^\circ\) имеем \(\frac\alpha2=30^\circ\), \(3\alpha=180^\circ\). Тогда

\(\tan 60^\circ\cdot\cot 30^\circ+\cos 180^\circ=\sqrt3\cdot\sqrt3-1=2.\)

Ответ: 2.

Уравнение \(\cos\beta=\frac12\) выполняется, например, при \(\beta=60^\circ\) и \(\beta=300^\circ\). Ещё одно значение получаем, добавив период \(360^\circ\): \(420^\circ\).

Ответ: например, \(60^\circ, 300^\circ, 420^\circ\).

Поскольку \(-1\leq\sin\alpha\leq1\), то \(-4\leq4\sin\alpha\leq4\), откуда \(-3\leq1+4\sin\alpha\leq5\). Границы достигаются при \(\sin\alpha=-1\) и \(\sin\alpha=1\).

Ответ: наибольшее значение — 5, наименьшее — −3.