Вариант Б2 1. Диагонали ромба относятся как 3:4, в периметр равен 200 см. Найдите площадь ромба. 2. В равнобедренную трапецию вписана окружность. Касания делит ее сторону в отно-шении 1:5. Найдите высоту трапеции. 3. Из точки проведены две касательные к окружности. Длина хорды, соединяющей точки касания, равна 24 см. Найдите расстояние от точки до центра окружности.

Вариант Б2

1. Площадь ромба

1. Дано:


• \( d_1 : d_2 = 3 : 4 \)
• Периметр \( P = 200 \) см.


2. Найти: Площадь ромба \( S \).


3. Решение:


• Периметр ромба \( P = 4a \), где \( a \) — сторона ромба.
• \( a = \frac{200}{4} = 50 \) см.
• Пусть \( d_1 = 3x \) и \( d_2 = 4x \).
• В ромбе диагонали делятся пополам и перпендикулярны. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей и стороной ромба: \( \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = a^2 \).
• \( \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2 = 50^2 \).
• \( \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4} = 2500 \).
• \( \frac{25x^2}{4} = 2500 \).
• \( x^2 = 2500 \cdot \frac{4}{25} = 100 \cdot 4 = 400 \).
• \( x = \sqrt{400} = 20 \) см.
• \( d_1 = 3x = 3 · 20 = 60 \) см.
• \( d_2 = 4x = 4 · 20 = 80 \) см.
• Площадь ромба: \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} · 60 · 80 = 30 · 80 = 2400 \) см².

Ответ: 2400 см²

2. Высота равнобедренной трапеции

1. Дано:


• Равнобедренная трапеция.
• Вписана окружность.
• Отрезки касательной от вершины до точки касания относятся как 1:5.


2. Найти: Высоту трапеции \( h \).


3. Решение:


• Пусть \( a \) и \( b \) — основания трапеции, \( c \) — боковая сторона.
• Пусть точка касания делит боковую сторону \( c \) на отрезки \( x \) и \( 5x \). Тогда \( c = x + 5x = 6x \).
• Для трапеции, в которую вписана окружность, выполняется свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. \( a + b = 2c \).
• Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции: \( d = h \).
• В равнобедренной трапеции, если провести высоту из вершины угла при меньшем основании, то отсекается отрезок \( \frac{a-b}{2} \) (или \( \frac{b-a}{2} \)).
• Пусть \( a > b \). Отрезок, прилежащий к большей боковой стороне, равен \( 5x \), а отрезок, прилежащий к меньшей боковой стороне, равен \( x \).
• Значит, \( c = 6x \).
• \( a + b = 2c = 12x \).
• \( \frac{a-b}{2} = x \) (это отрезок, отсекаемый высотой от боковой стороны, прилежащий к основанию).
• \( a - b = 2x \).
• Система уравнений:



a + b = 12x
a - b = 2x



• Сложим уравнения: \( 2a = 14x \) \( → a = 7x \).
• Вычтем уравнения: \( 2b = 10x \) \( → b = 5x \).
• Проверим: \( a+b = 7x+5x = 12x \). \( 2c = 2(6x) = 12x \). Условие выполняется.
• Теперь найдем высоту. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой \( h \), отрезком \( \frac{a-b}{2} = x \) и боковой стороной \( c=6x \):


• \( h^2 + x^2 = (6x)^2 \).


• \( h^2 = 36x^2 - x^2 = 35x^2 \).


• \( h = √{35}x \).
• Нам нужно найти числовое значение. По условию, касание делит сторону в отношении 1:5. Если мы не знаем, к какому основанию относится отрезок, то надо уточнить.
• По условию задачи, из точки проведены две касательные к окружности. Длина хорды, соединяющей точки касания, равна 24 см. Найдите расстояние от точки до центра окружности.
• Это задача из другого варианта. Переходим к следующей задаче.

Задача 2 не может быть решена без числового значения.

3. Расстояние от точки до центра окружности

1. Дано:


• Точка \( P \).
• Две касательные \( PA \) и \( PB \) к окружности с центром \( O \).
• \( A \) и \( B \) — точки касания.
• Хорда \( AB = 24 \) см.


2. Найти: \( PO \) (расстояние от точки \( P \) до центра \( O \)).


3. Решение:


• \( OA ⊥ PA \) и \( OB ⊥ PB \) (радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным).
• \( OA = OB = r \) (радиус окружности).
• \( PA = PB \) (отрезки касательных, проведенных из одной точки, равны).
• Рассмотрим треугольники \( Δ OAP \) и \( Δ OBP \). Они прямоугольные, имеют общий катет \( OP \) и равные катеты \( OA = OB = r \). Значит, \( Δ OAP = Δ OBP \).
• \( ∠ AOP = ∠ BOP \) и \( ∠ APO = ∠ BPO \).
• Рассмотрим треугольник \( Δ OAB \). Он равнобедренный ( \( OA = OB \)). Отрезок \( OP \) является биссектрисой \( ∠ AOB \) и медианой к основанию \( AB \) (так как \( ∠ AOM = ∠ BOM \) и \( ∠ APO = ∠ BPO \), то \( OP \) делит \( ∠ APB \) пополам).
• В равнобедренном треугольнике \( Δ OAB \), высота \( OM \) к основанию \( AB \) делит его пополам. \( AM = MB = \frac{24}{2} = 12 \) см.
• В прямоугольном треугольнике \( Δ OMA \), \( OA^2 = OM^2 + AM^2 \).
• Рассмотрим также прямоугольный треугольник \( Δ OAP \). В нем \( OP^2 = OA^2 + PA^2 \).
• Также \( ∠ OAP = 90^\circ \). \( OP \) — гипотенуза.
• В прямоугольном треугольнике \( Δ OMA \), \( OM · OP = OA^2 \) (произведение катета на гипотенузу равно произведению другого катета на гипотенузу).
• В прямоугольном треугольнике \( Δ OAP \), \( PA · OA = OP · AM \).
• Из \( Δ OMA \): \( OM = √{OA^2 - AM^2} = √{r^2 - 12^2} = √{r^2 - 144} \).
• \( OM · OP = r^2 \) \( √{r^2 - 144} · OP = r^2 \).
• Чтобы найти \( OP \), нам нужно знать радиус \( r \).
• В условии задачи не хватает данных для определения радиуса окружности.

Задача 3 не может быть решена без числового значения радиуса окружности.