Вариант Б1 1 Один из острых углов прямоугольного треугольника в 4 раза меньше другого. В другом прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54°. Подобны ли эти треугольники? Почему? 2 Стороны одного треугольника равны 21 см, 27 см, 12 см. Стороны другого треугольника относятся как 7:9:4, а его большая сторона равна 54 см. Найдите отношение площадей этих треугольников. 3 Дано: АВ || CD; AB: CD = 3:5; СВ = 64 см. Доказать: АO-CO = BO-DO. Найти: ВО и СО.

Давай подробно разберем задачи из варианта Б1.

Задание 1

В прямоугольном треугольнике один из острых углов в 4 раза меньше другого. Пусть меньший угол равен x, тогда больший угол равен 4x. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусам. Следовательно: \[x + 4x = 90\] \[5x = 90\] \[x = 18\] Тогда больший угол равен 4 * 18 = 72 градуса. Во втором прямоугольном треугольнике разность острых углов равна 54 градуса. Пусть углы будут y и z, где y > z. Тогда: \[y - z = 54\] \[y + z = 90\] Сложим эти два уравнения: \[2y = 144\] \[y = 72\] Тогда z = 90 - 72 = 18 градусов. Так как углы в обоих треугольниках равны 18 и 72 градуса, то эти треугольники подобны, так как у них два угла соответственно равны.

Задание 2

Стороны одного треугольника: 21 см, 27 см, 12 см. Стороны другого треугольника относятся как 7:9:4, а большая сторона равна 54 см. Пусть стороны второго треугольника 7k, 9k, 4k. Большая сторона равна 9k, значит, 9k = 54, откуда k = 6. Тогда стороны второго треугольника: 7 * 6 = 42 см, 9 * 6 = 54 см, 4 * 6 = 24 см. Теперь найдем отношение сторон: \[\frac{21}{42} = \frac{1}{2}\] \[\frac{27}{54} = \frac{1}{2}\] \[\frac{12}{24} = \frac{1}{2}\] Треугольники подобны с коэффициентом подобия k = 1/2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Значит, отношение площадей равно (1/2)^2 = 1/4.

Задание 3

Дано: AB || CD, AB:CD = 3:5, CB = 64 см. Доказать: AO·CO = BO·DO. Найти: BO и CO. Треугольники ABO и CDO подобны по двум углам (углы при основании и вертикальные углы). Следовательно, \(\frac{AO}{DO} = \frac{BO}{CO} = \frac{AB}{CD} = \frac{3}{5}\). Отсюда следует, что AO·CO = BO·DO. Пусть BO = 3x, CO = 5x. Тогда BC = BO + CO = 3x + 5x = 8x. Так как CB = 64 см, то 8x = 64, откуда x = 8. Значит, BO = 3 * 8 = 24 см, CO = 5 * 8 = 40 см.

Ответ: Задача 1: Треугольники подобны, так как у них два угла соответственно равны. Задача 2: Отношение площадей равно 1/4. Задача 3: BO = 24 см, CO = 40 см