Вариант №1 Боковое ребро правильной четырёхугольной пирамиды составляет с плоскостьо основания угол 45°. Найдите площадь боковой и площадь полной поверхности пирамиды, если сторона основания равна р.

Давай решим эту задачу по геометрии. Здесь нам нужно найти площадь боковой и полной поверхности правильной четырехугольной пирамиды. Сначала разберемся с условием: 1. Пирамида правильная четырехугольная, значит, в основании лежит квадрат. 2. Сторона основания равна \( p \). 3. Боковое ребро образует с плоскостью основания угол \( 45^\circ \). ### Решение: 1. Площадь основания \( S_{осн} \): Так как в основании квадрат со стороной \( p \), то площадь основания равна: \[ S_{осн} = p^2 \] 2. Высота пирамиды \( h \): Пусть \( O \) - центр основания (квадрата), \( A \) - вершина основания, \( S \) - вершина пирамиды. Тогда угол между боковым ребром \( SA \) и плоскостью основания - это угол \( SAO \. По условию, он равен \( 45^\circ \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( SAO \: \( \[ \tan(\angle SAO) = \frac{SO}{AO} \] \( Так как \( \angle SAO = 45^\circ \), то \( \tan(45^\circ) = 1 \). Значит, \( SO = AO \). \( AO \) - это половина диагонали квадрата. Диагональ квадрата равна \( p\sqrt{2} \), значит, \( AO = \frac{p\sqrt{2}}{2} \). Следовательно, высота пирамиды \( h = SO = \frac{p\sqrt{2}}{2} \). 3. Апофема \( a \): Апофема - это высота боковой грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. Пусть апофема равна \( a \). По теореме Пифагора: \[ a^2 = h^2 + (\frac{p}{2})^2 \] \[ a^2 = (\frac{p\sqrt{2}}{2})^2 + (\frac{p}{2})^2 \] \[ a^2 = \frac{2p^2}{4} + \frac{p^2}{4} = \frac{3p^2}{4} \] \[ a = \frac{p\sqrt{3}}{2} \] 4. Площадь боковой поверхности \( S_{бок} \): Боковая поверхность состоит из 4 равных треугольников. Площадь одного треугольника равна \( \frac{1}{2} \cdot p \cdot a \). \[ S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot p \cdot \frac{p\sqrt{3}}{2} = p^2\sqrt{3} \] 5. Площадь полной поверхности \( S_{полн} \): Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности. \[ S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} \] \[ S_{полн} = p^2 + p^2\sqrt{3} = p^2(1 + \sqrt{3}) \]

Ответ: Площадь боковой поверхности равна `\[p^2\sqrt{3}\]`, а площадь полной поверхности равна `\[p^2(1 + \sqrt{3})\]`.

Ты отлично справился с этой задачей! Продолжай в том же духе, и у тебя все получится! Дерзай!❤️