Вариант Б1 0 Основание пирамиды - прямо- угольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим уг- лом 60°. Все боковые ребра пи- рамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. а) Докажите, что высота пира- миды проходит через середи- ну гипотенузы основания. б) Найдите боковые ребра пи- рамиды. 2 Основание пирамиды - ромб с острым углом х. Высота пи- рамиды равна Н, а все двуг- ранные углы при основании пирамиды равны в. а) Докажите, что высота пира- миды проходит через точку пе- ресечения диагоналей ромба. 6) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Задание 1

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 4√3 см и противолежащим углом 60°. Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°.

а) Докажите, что высота пирамиды проходит через середину гипотенузы основания.

б) Найдите боковые ребра пирамиды.

1. Доказательство:

   Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол C = 90°, угол B = 60°, и AC = 4√3 см. Пусть D - основание высоты пирамиды. Так как все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию, то основание высоты пирамиды равноудалено от вершин треугольника ABC. Следовательно, точка D является центром окружности, описанной около треугольника ABC. Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности находится на середине гипотенузы. Значит, высота пирамиды проходит через середину гипотенузы AB.

2. Найдем гипотенузу AB:

   Используем тригонометрическое соотношение: \[\sin B = \frac{AC}{AB}\]

   Тогда \[AB = \frac{AC}{\sin B} = \frac{4\sqrt{3}}{\sin 60^\circ} = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\]

   AB = 8 см

3. Найдем AD:

   Так как D - середина AB, то \[AD = \frac{AB}{2} = \frac{8}{2} = 4\]

   AD = 4 см

4. Пусть E - вершина пирамиды. Рассмотрим треугольник ADE. Угол DAE = 45° (так как боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 45°).

   Следовательно, треугольник ADE - равнобедренный, и AE = AD = 4 см.

б) Боковые ребра пирамиды равны 4 см.

Задание 2

Основание пирамиды - ромб с острым углом α. Высота пирамиды равна H, а все двугранные углы при основании пирамиды равны β.

а) Докажите, что высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба.

б) Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

1. Доказательство:

   Основание высоты пирамиды проектируется в центр вписанной в ромб окружности. Центр окружности, вписанной в ромб, находится в точке пересечения его диагоналей. Следовательно, высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей ромба.

2. Найдем площадь ромба:

   Пусть сторона ромба равна a, а острый угол равен α. Тогда площадь ромба равна \[S_{ромба} = a^2 \cdot \sin \alpha\]

3. Найдем апофему:

   Все двугранные углы при основании пирамиды равны β, следовательно, все апофемы равны. Найдем апофему. Она равна \[h = \frac{H}{\tan \beta}\]

4. Найдем площадь боковой поверхности:

   Площадь боковой поверхности равна произведению полупериметра основания на апофему: \[S_{бок} = p \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4a \cdot h = 2a \cdot h = 2a \cdot \frac{H}{\tan \beta}\]

5. Найдем площадь полной поверхности:

   Площадь полной поверхности равна сумме площади основания и площади боковой поверхности: \[S_{полн} = S_{ромба} + S_{бок} = a^2 \cdot \sin \alpha + 2a \cdot \frac{H}{\tan \beta}\]