Вариант B2 1 Разложите на простые множители числа: a) 1463; б) 41580. 2 Найдите наибольший общий дели- тель и наименьшее общее кратное чисел: а) 36, 54 и 90; б) 98а и 1406, где а и в простые числа больше 10. 3 Замените звездочки четырьмя одинаковыми цифрами так, чтобы числа *3* и 6** были взаимно простыми. Укажите все возможные решения. 4 Найдите значение выражения и выпишите все составные делители этого числа: (55,08:1,8-7,8) 6,5-58,2. 5 Известно, что a, b, с сумма a+b+c четна. Докажите, что произведе- ние авс также четно.

Вариант В2

1. Разложение на простые множители:

а) 1463 = 7 * 11 * 19

б) 41580 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5 * 7 * 33 = 2² * 3² * 5 * 7 * 33

2. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное:

а) Для чисел 36, 54 и 90:

• Разложим числа на простые множители:
• 36 = 2² * 3²
• 54 = 2 * 3³
• 90 = 2 * 3² * 5
• НОД(36, 54, 90) = 2 * 3² = 18
• НОК(36, 54, 90) = 2² * 3³ * 5 = 540

б) Для чисел 98а и 140b, где a и b - простые числа больше 10:

• 98а = 2 * 7² * a
• 140b = 2² * 5 * 7 * b
• НОД(98а, 140b) = 2 * 7 = 14
• НОК(98а, 140b) = 2² * 5 * 7² * a * b = 980ab

3. Замена звездочек:

Числа *3* и 6 должны быть взаимно простыми. Это значит, что у них нет общих делителей, кроме 1.

Проверим варианты:

• Если * = 0: 030 (30) и 600 - оба делятся на 30, не взаимно простые.
• Если * = 1: 131 - простое число и 611 = 13 * 47. НОД(131, 611) = 1.
• Если * = 2: 232 = 2³ * 29 и 622 = 2 * 311 - оба делятся на 2, не взаимно простые.
• Если * = 3: 333 = 3² * 37 и 633 = 3 * 211 - оба делятся на 3, не взаимно простые.
• Если * = 4: 434 = 2 * 7 * 31 и 644 = 2² * 7 * 23 - оба делятся на 2, не взаимно простые.
• Если * = 5: 535 = 5 * 107 и 655 = 5 * 131 - оба делятся на 5, не взаимно простые.
• Если * = 6: 636 = 2² * 3 * 53 и 666 = 2 * 3² * 37 - оба делятся на 6, не взаимно простые.
• Если * = 7: 737 = 11 * 67 и 677 - простое число. НОД(737, 677) = 1.
• Если * = 8: 838 = 2 * 419 и 688 = 2⁴ * 43 - оба делятся на 2, не взаимно простые.
• Если * = 9: 939 = 3 * 313 и 699 = 3 * 233 - оба делятся на 3, не взаимно простые.

Решения: * = 1, числа 131 и 611 взаимно простые; * = 7, числа 737 и 677 взаимно простые.

4. Вычисление выражения и делители:

(55,08 : 1,8 - 7,8) * 6,5 - 58,2 = (30,6 - 7,8) * 6,5 - 58,2 = 22,8 * 6,5 - 58,2 = 148,2 - 58,2 = 90

Составные делители числа 90: 4, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90

5. Доказательство:

Известно, что a, b, c - простые числа, и сумма a + b + c четна. Докажем, что произведение abc также четно.

Так как сумма a + b + c четна, то либо все три числа четные, либо одно четное, а два нечетные.

Единственное четное простое число - это 2. Значит, хотя бы одно из чисел a, b или c должно быть равно 2.

Если хотя бы одно из чисел a, b или c равно 2, то произведение abc будет четным (так как 2 умноженное на любое число дает четное число).

Следовательно, произведение abc - четное число.