5! 10! Вариант 2 15! CCC e). 1. Вычислите: а) 21; б) 81; в) 131-21; г); д) 2. Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность того, что он попадет в мишень, равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок: а) попадет в мишень ровно два раза; б) более трех раз; в) менее двух раз; г) нечетное число раз; д) не менее трех раз и не более четырех раз; е) либо четыре раза, либо ни разу.

Задание 1

Вычислите:

1. а) \[\frac{5!}{2!}\]
2. б) \[\frac{10!}{8!}\]
3. в) \[\frac{15!}{13!-2!}\]
4. г) \[C_6^8\]
5. д) \[C_3^2 \cdot C_4^6\]
6. e) \[\frac{C_6^2 - C_5^8}{C_3^3}\]

Задание 2

Стрелок стреляет по мишени 5 раз. Вероятность того, что он попадет в мишень, равна 0,7. Найдите вероятность того, что стрелок:

1. а) попадет в мишень ровно два раза;
2. б) более трех раз;
3. в) менее двух раз;
4. г) нечетное число раз;
5. д) не менее трех раз и не более четырех раз;
6. е) либо четыре раза, либо ни разу.

Решение задания 1

1. а) \[\frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{2 \cdot 1} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60\]

2. б) \[\frac{10!}{8!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{8!} = 10 \cdot 9 = 90\]

3. в) \[\frac{15!}{13! - 2!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! - 2}\]

   Это выражение не имеет смысла, так как 13! гораздо больше, чем 2. Возможно, в знаменателе должно быть 13! - 2! = 13! - 2 = 6227020800 - 2 = 6227020798.

   Тогда \[\frac{15!}{13! - 2!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13! - 2} \approx \frac{15 \cdot 14 \cdot 13!}{13!} = 15 \cdot 14 = 210\]

4. г) \[C_6^8\]

   Эта комбинация не имеет смысла, так как верхний индекс (8) больше, чем нижний индекс (6). Количество способов выбрать 8 элементов из 6 невозможно.

5. д) \[C_3^2 \cdot C_4^6\]

   Эта комбинация не имеет смысла, так как во второй части верхний индекс (6) больше, чем нижний индекс (4). Количество способов выбрать 6 элементов из 4 невозможно.

6. e) \[\frac{C_6^2 - C_5^8}{C_3^3}\]

   Это выражение не имеет смысла, так как во второй части числителя верхний индекс (8) больше, чем нижний индекс (5). Количество способов выбрать 8 элементов из 5 невозможно.

Решение задания 2

Пусть X - количество попаданий в мишень. X имеет биномиальное распределение с параметрами n = 5 и p = 0.7.

Вероятность k попаданий: \[P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}\]

1. а) \[P(X = 2) = C_5^2 (0.7)^2 (0.3)^3 = 10 \cdot 0.49 \cdot 0.027 = 0.1323\]
2. б) \[P(X > 3) = P(X = 4) + P(X = 5)\] \[P(X = 4) = C_5^4 (0.7)^4 (0.3)^1 = 5 \cdot 0.2401 \cdot 0.3 = 0.36015\] \[P(X = 5) = C_5^5 (0.7)^5 (0.3)^0 = 1 \cdot 0.16807 \cdot 1 = 0.16807\] \[P(X > 3) = 0.36015 + 0.16807 = 0.52822\]
3. в) \[P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)\] \[P(X = 0) = C_5^0 (0.7)^0 (0.3)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.00243 = 0.00243\] \[P(X = 1) = C_5^1 (0.7)^1 (0.3)^4 = 5 \cdot 0.7 \cdot 0.0081 = 0.02835\] \[P(X < 2) = 0.00243 + 0.02835 = 0.03078\]
4. г) \[P(X \text{ нечетное}) = P(X = 1) + P(X = 3) + P(X = 5)\] \[P(X = 3) = C_5^3 (0.7)^3 (0.3)^2 = 10 \cdot 0.343 \cdot 0.09 = 0.3087\] \[P(X \text{ нечетное}) = 0.02835 + 0.3087 + 0.16807 = 0.50512\]
5. д) \[P(3 \le X \le 4) = P(X = 3) + P(X = 4) = 0.3087 + 0.36015 = 0.66885\]
6. е) \[P(X = 4 \text{ или } X = 0) = P(X = 4) + P(X = 0) = 0.36015 + 0.00243 = 0.36258\]