Вариант 4 Часть 1. Геометрия (Треугольники) 1. В треугольниках АВС и DEF известно, что ∠A = ∠D, C = ∠F, и биссектрисы АР и DQ углов А и В равны. Докажите, что АBC = DEF. 2. В треугольнике АВС с равными сторонами АВ и АС на основании ВС отмечены точки Р и Q так, что ВР СQ. Докажите, что треугольники АРВ и АQC равны. Часть II. Алгебра (Многочлены и ФСУ) 3. Упростите выражение: a) (5c4d) (5c4d) (3c + d)² б) (p+2)(p4) (p4) 4. Преобразуйте выражение: a) (6z1)+(162)(1 + 6z) б) (a+b)+(ab) B) (253) (4s²+ 6s+ 9) + 27 5. Решите уравнение: (4x) x(x+5)=1

Решение:

Часть I. Геометрия (Треугольники)

1. В треугольниках ABC и DEF известно, что ∠A = ∠D, ∠C = ∠F, и биссектрисы AP и DQ углов A и D равны. Докажите, что ABC = DEF.

Доказательство:

1. Так как ∠A = ∠D и ∠C = ∠F, то ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - ∠D - ∠F = ∠E.
2. AP и DQ - биссектрисы углов A и D соответственно, и ∠A = ∠D, то ∠BAP = ∠ADQ = ∠A/2 = ∠D/2.
3. Треугольники ABP и DEQ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по второму признаку равенства треугольников: AB = DE, ∠A = ∠D и ∠B = ∠E).
4. Так как треугольники ABC и DEF имеют равные соответственные углы (∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F) и равные стороны (AB = DE), то они равны.

2. В треугольнике ABC с равными сторонами AB и AC на основании BC отмечены точки P и Q так, что BP = CQ. Докажите, что треугольники APB и AQC равны.

Доказательство:

1. Так как AB = AC (по условию), то треугольник ABC - равнобедренный, и углы при основании BC равны: ∠ABC = ∠ACB.
2. Так как BP = CQ (по условию), то треугольники ABP и ACQ равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников: AB = AC, BP = CQ и ∠ABC = ∠ACB).

Часть II. Алгебра (Многочлены и ФСУ)

3. Упростите выражение:

a) $$(5c - 4d)(5c + 4d) - (3c + d)^2$$

Решение:

Применим формулы сокращённого умножения: разность квадратов и квадрат суммы.

$$ (5c - 4d)(5c + 4d) = (5c)^2 - (4d)^2 = 25c^2 - 16d^2 $$

$$ (3c + d)^2 = (3c)^2 + 2 \\cdot 3c \\cdot d + d^2 = 9c^2 + 6cd + d^2 $$

Тогда:

$$ 25c^2 - 16d^2 - (9c^2 + 6cd + d^2) = 25c^2 - 16d^2 - 9c^2 - 6cd - d^2 = 16c^2 - 17d^2 - 6cd $$

Ответ: $$16c^2 - 17d^2 - 6cd$$

б) $$(p + 2)^2 - (p - 4)(p + 4)$$

Решение:

Применим формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и разность квадратов.

$$ (p + 2)^2 = p^2 + 2 \\cdot p \\cdot 2 + 2^2 = p^2 + 4p + 4 $$

$$ (p - 4)(p + 4) = p^2 - 4^2 = p^2 - 16 $$

Тогда:

$$ p^2 + 4p + 4 - (p^2 - 16) = p^2 + 4p + 4 - p^2 + 16 = 4p + 20 $$

Ответ: $$4p + 20$$

4. Преобразуйте выражение:

a) $$(6z - 1)^2 + (1 - 6z)(1 + 6z)$$

Решение:

Применим формулы сокращённого умножения: квадрат разности и разность квадратов.

$$ (6z - 1)^2 = (6z)^2 - 2 \\cdot 6z \\cdot 1 + 1^2 = 36z^2 - 12z + 1 $$

$$ (1 - 6z)(1 + 6z) = 1^2 - (6z)^2 = 1 - 36z^2 $$

Тогда:

$$ 36z^2 - 12z + 1 + 1 - 36z^2 = -12z + 2 $$

Ответ: $$-12z + 2$$

б) $$(a + b)^2 + (a - b)^2$$

Решение:

Применим формулы сокращённого умножения: квадрат суммы и квадрат разности.

$$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $$

$$ (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $$

Тогда:

$$ a^2 + 2ab + b^2 + a^2 - 2ab + b^2 = 2a^2 + 2b^2 $$

Ответ: $$2a^2 + 2b^2$$

в) $$(2s - 3)(4s^2 + 6s + 9) + 27$$

Решение:

Заметим, что $$4s^2 + 6s + 9 = (2s)^2 + 2s \\cdot 3 + 3^2$$, поэтому можно применить формулу разности кубов:

$$ (2s - 3)(4s^2 + 6s + 9) = (2s)^3 - 3^3 = 8s^3 - 27 $$

Тогда:

$$ 8s^3 - 27 + 27 = 8s^3 $$

Ответ: $$8s^3$$

5. Решите уравнение: $$(4 - x)^2 - x(x + 5) = 1$$

Решение:

Раскроем скобки:

$$ (4 - x)^2 = 4^2 - 2 \\cdot 4 \\cdot x + x^2 = 16 - 8x + x^2 $$

$$ x(x + 5) = x^2 + 5x $$

Тогда уравнение принимает вид:

$$ 16 - 8x + x^2 - (x^2 + 5x) = 1 $$

$$ 16 - 8x + x^2 - x^2 - 5x = 1 $$

$$ 16 - 13x = 1 $$

$$ -13x = -15 $$

$$ x = \\frac{15}{13} $$

Ответ: $$x = \\frac{15}{13}$$