Вариант 2 Часть 1. Теоретические вопросы 1. Сформулируйте признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу. 2. Дайте определение биссектрисы треугольника. Часть 1. Практические задачи 3. В прямоугольном треугольнике ABC (ZB-90°) ∠C-30°, AC-12 см. Найдите длину катета АВ. 4. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, в разность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см. Найдите гипотенузу и меньший катет 5. В треугольнике ABC ∠A=90°, 4B-30°. На гипотенузе ВС отметили течку М так, что ВАМ -30°. Найдите отрезок СМ, если АМ-8 см.

Решение:

Вариант 2

Часть I. Теоретические вопросы

1. Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу:

   Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2. Биссектриса треугольника:

   Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Часть II. Практические задачи

1. В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°, ∠C = 30°), AC = 12 см. Найти длину катета AB.

   Решение:

   AB - катет, прилежащий к углу A = 60°, поэтому AB = AC * sin(30°) = AC / 2.

   AB = 12 / 2 = 6 см.

   Ответ: 6 см

2. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 30°, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 4 см. Найти гипотенузу и меньший катет.

   Решение:

   Пусть гипотенуза равна c, меньший катет (лежащий против угла 30°) равен a.

   Тогда c - a = 4 см, и a = 1/2 c (по свойству катета, лежащего против угла 30°).

   Получаем: c - 1/2 c = 4 см, или 1/2 c = 4 см.

   c = 4 см * 2 = 8 см (гипотенуза).

   a = 1/2 * 8 см = 4 см (меньший катет).

   Ответ: гипотенуза - 8 см, меньший катет - 4 см

3. В треугольнике ABC ∠A = 90°, ∠B = 30°. На гипотенузе BC отметили точку M так, что ∠BAM = 30°. Найти отрезок CM, если AM = 8 см.

   Решение:

   ∠C = 180° - 90° - 30° = 60°.

   ∠MAC = ∠BAC - ∠BAM = 90° - 30° = 60°.

   В прямоугольном треугольнике ABM (∠A = 90°, ∠BAM = 30°), BM = AM / √3.

   AM = 8 см, следовательно, BM = (8√3) / 3 см.

   Рассмотрим треугольник AMC, ∠MAC = 60°, ∠C = 60°, значит треугольник равносторонний, MC = AM = 8 см.

   Ответ: 8 см