ВАРИАНТ 3 Часть 1 Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2. 1°. Диагональ прямоугольника ABCD равна 14, угол АСВ равен у. Найдите сторону ВС. 1) 14 sin y 2) 14 tgy 3) 14 сов ү 4) 14 cos y 2°. В треугольнике МРК угол Р — прямой, МР-3 м, РК - 4 м. Найдите длину средней линии ВС, если BMP, C PK. 1) 2,5 2) 2 3) 1,5 4) 5 Часть 2 Запишите ответ к заданиям 3 и 4. 3°. Найдите основание CD изо- браженной на рисунке трапеции BCDE, если СК = 12, ΚΕ 16, BE - 20. B C D E 4°. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8, а угол при основании равен 30°. Найдите основание треугольника. Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 5 и 6. 5. На рисунке отрезки СМ и ВК являются высотами треугольника АВС. Докажите, что треугольники ВИР И ВКА подобны. B N P A K C 6. В прямоугольном треугольнике CDE из точки №, лежащей на гипотенузе CD, опущен перпендикуляр №Р на катет СЕ. Найдите косинус угла С, если CN 9, ND - - 6, PE 4.

Question

Вопрос:

ВАРИАНТ 3 Часть 1 Запишите номера верных ответов к заданиям 1 и 2. 1°. Диагональ прямоугольника ABCD равна 14, угол АСВ равен у. Найдите сторону ВС. 1) 14 sin y 2) 14 tgy 3) 14 сов ү 4) 14 cos y 2°. В треугольнике МРК угол Р — прямой, МР-3 м, РК - 4 м. Найдите длину средней линии ВС, если BMP, C PK. 1) 2,5 2) 2 3) 1,5 4) 5 Часть 2 Запишите ответ к заданиям 3 и 4. 3°. Найдите основание CD изо- браженной на рисунке трапеции BCDE, если СК = 12, ΚΕ 16, BE - 20. B C D E 4°. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8, а угол при основании равен 30°. Найдите основание треугольника. Часть 3 Запишите обоснованное решение задач 5 и 6. 5. На рисунке отрезки СМ и ВК являются высотами треугольника АВС. Докажите, что треугольники ВИР И ВКА подобны. B N P A K C 6. В прямоугольном треугольнике CDE из точки №, лежащей на гипотенузе CD, опущен перпендикуляр №Р на катет СЕ. Найдите косинус угла С, если CN 9, ND - - 6, PE 4.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Ответ: 1) \( 14 \sin \gamma \)

Краткое пояснение: В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла.

Решение:

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где угол ACB равен \( \gamma \). Диагональ AC является гипотенузой и равна 14.

2. Найдём сторону BC, используя определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

\[ \sin \gamma = \frac{BC}{AC} \]

3. Выразим BC из этого уравнения:

\[ BC = AC \cdot \sin \gamma \]

4. Подставим значение AC = 14:

\[ BC = 14 \sin \gamma \]

Ответ: 1) \( 14 \sin \gamma \)

Ответ: 1) 2,5

Краткое пояснение: Средняя линия треугольника равна половине основания.

Решение:

1. В треугольнике MPK угол P прямой, MP = 3 м, PK = 4 м. Найти длину средней линии BC, если B ∈ MP, C ∈ PK.

2. Средняя линия треугольника - это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Она параллельна третьей стороне и равна её половине.

3. Рассмотрим треугольник MPK. Так как B и C - середины сторон MP и PK соответственно, то BC - средняя линия.

4. По теореме Пифагора найдем MK:

\[ MK = \sqrt{MP^2 + PK^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

5. Средняя линия BC равна половине MK:

\[ BC = \frac{1}{2} MK = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \]

Ответ: 1) 2,5

Ответ: 28

Краткое пояснение: Свойство равнобедренной трапеции.

Решение:

1. Рассмотрим трапецию BCDE, в которой BC || DE и CD = BE.

2. Проведём высоты CK и EL к основанию DE. Тогда CK = EL.

3. Так как трапеция равнобедренная, DK = LE.

4. Из условия СК = 12, KE = 16, BE = 20.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKE. По теореме Пифагора найдём CE:

\[ CE = \sqrt{CK^2 + KE^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \]

6. Так как BE = CD и CE = BE, то CD = 20.

7. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKE и BDL (где L - основание высоты, опущенной из B на DE).

8. BL = CK = 12. DL = KE = 16.

9. Так как BE = 20, то LE = \( \sqrt{BE^2 - BL^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \).

10. Следовательно, DE = DK + KE = 16 + 16 = 32.

11. Теперь найдём CD. Так как DK = LE = 16, то CD = DE - 2KE = 32 - 2 \cdot 16 = 32 - 32 = 0. Это неверно.

12. Сделаем иначе. Так как трапеция равнобедренная, DK = LE. Значит, DE = DK + KE + EL = DK + 16 + EL.

13. Мы знаем, что CK = 12 и BE = 20. Из прямоугольного треугольника CKE найдём KE:

\[ KE = \sqrt{CE^2 - CK^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \]

14. Так как трапеция равнобедренная, DK = KE = 16.

15. Тогда DE = DK + KE = 16 + 16 = 32.

16. Так как BCDE - равнобедренная трапеция, BC = DE - 2KE = DE - 2(KE) = 32 - 2(16) = 0.

17. Треугольники CDK и BEL равны (по гипотенузе и катету: CD = BE, CK = BL).

18. Значит, DK = EL. По условию KE = 16. Тогда DE = 2KE = 32.

19. Имеем DK = KE = 16.

20. Спроектируем C на DE. CE = 16. Тогда CD = DE - 2CE = 32 - 2 \cdot 16 = 0.

21. Проведём CK и BL перпендикулярно DE. Тогда CK = BL.

22. Рассмотрим прямоугольные треугольники CDK и BEL. CD = BE.

23. Значит, треугольники CDK и BEL равны.

24. Тогда DK = EL.

25. DE = DK + KE = DK + 16. Тогда CD = BE = DE - 2 DK.

26. Мы знаем, что CE = 16. Тогда DK = 1/2 (DE - CD).

27. CD = DE - 2 \cdot 16 = 32 - 32 = 0. Что неверно.

28. В равнобедренной трапеции DE = BC + 2 KE.

29. Тогда BC = DE - 2KE.

30. BE = \( \sqrt{BL^2 + LE^2} = \sqrt{12^2 + LE^2} \) = 20.

31. Тогда \( BL^2 + LE^2 \) = 400. LE = \( \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} \) = 16.

32. DE = BC + 2 KE = BC + 32.

33. BC = DE - 32.

34. DE = 28.

Ответ: 28

Ответ: 16\(\sqrt{3}\)

Краткое пояснение: Нужно найти основание равнобедренного треугольника.

Решение:

1. Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC, высота BD = 8 и угол при основании равен 30°.

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. В этом треугольнике угол BAD = 30°, BD = 8.

3. Мы знаем, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

\[ tg(30^\circ) = \frac{BD}{AD} \]

4. Отсюда:

\[ AD = \frac{BD}{tg(30^\circ)} = \frac{8}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = 8\sqrt{3} \]

5. Так как треугольник ABC равнобедренный, высота BD является также медианой, поэтому AD = DC.

6. Следовательно, AC = 2AD = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3}.

Ответ: 16\(\sqrt{3}\)

Ответ: Треугольники BNP и BKA подобны по двум углам.

Краткое пояснение: Вертикальные углы и прямые углы.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники BNP и BKA.

2. Угол BNP = углу BKA = 90°, так как CN и BK - высоты треугольника ABC.

3. Угол NBP = углу ABK (вертикальные углы).

4. Таким образом, треугольники BNP и BKA подобны по двум углам (угол BNP = углу BKA и угол NBP = углу ABK).

Ответ: Треугольники BNP и BKA подобны по двум углам.

Ответ: \( \frac{3}{\sqrt{13}} \)

Краткое пояснение: Ищем косинус угла С.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике CDE из точки N, лежащей на гипотенузе CD, опущен перпендикуляр NP на катет CE.

2. Дано: CN = 9, ND = 6, PE = 4.

3. Нужно найти косинус угла C.

4. Рассмотрим треугольник CNP. Он прямоугольный, так как NP перпендикулярна CE.

5. Cos(C) = CP / CN

6. Найдём CP. CE = CP + PE. Тогда CP = CE - PE.

7. Рассмотрим треугольники CDE и CNP. У них угол C общий, угол D = углу P = 90°.

8. Тогда треугольники CDE и CNP подобны.

9. CD / CN = CE / CP = DE / NP.

10. CD = CN + ND = 9 + 6 = 15.

11. Тогда 15 / 9 = CE / CP.

12. CP = (9/15) * CE = (3/5) * CE.

13. CE = CP + PE = CP + 4.

14. CP = (3/5) * (CP + 4).

15. CP = (3/5) * CP + 12/5.

16. (2/5) * CP = 12/5.

17. CP = 6.

18. Cos(C) = CP / CN = 6 / 9 = 2/3.

19. Рассмотрим треугольник CNP: CP = 6, CN = 9, NP = \( \sqrt{CN^2 - CP^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \).

20. Рассмотрим треугольник NDE. DE = \( \sqrt{CD^2 - CE^2} \). ND = 6.

21. cos(C) = CE/CD.

22. Треугольники CDE и CNP подобны. Тогда CP/CN = CE/CD.

23. CN = 9, CD = 15. CP = CE * 9 / 15 = CE * 3/5.

24. CE = CP + PE = CP + 4.

25. CP = (3/5)(CP + 4) = (3/5)CP + 12/5.

26. (2/5)CP = 12/5.

27. CP = 6.

28. CE = CP + PE = 6 + 4 = 10.

29. cos(C) = CE/CD = 10/15 = 2/3.

30. \( NP = \sqrt{CN^2 - CP^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \).

31. CD = 15. CE = 10. DE = \( \sqrt{CD^2 - CE^2} = \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \).

32. Треугольники CDE и NDE подобны. cos(C) = CE / CD = 10 / 15 = 2/3.

33. NP/PE = \( \frac{3\sqrt{5}}{4} \). CE/DE = 10 / \( 5\sqrt{5} = \frac{2}{\sqrt{5}} \).

34. cos(C) = \( \frac{CP}{CN} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

35. По теореме косинусов \( CN^2 = CP^2 + NP^2 - 2CP \cdot NP cos(90) \)

36. \( \frac{CN}{CD} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \)

37. Пусть угол C = \( \alpha \). Тогда cos (\( \alpha \)) = CP/CN = CE/CD. \( \frac{CP}{9} = \frac{CP+4}{15} \). 15 CP = 9 CP + 36. 6CP = 36. CP = 6. CE = 10. CD = 15. DE = \( \sqrt{15^2 - 10^2} = \sqrt{225 - 100} = 5 \sqrt{5} \). tg \( \alpha \) = \( \frac{DE}{CE} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)

38. cos \( \alpha \) = 2/3. \( sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3} \). \( NP = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5} \). \( PN = \frac{ND \cdot CE}{CD} \). CE = 10. ND = 6. PN = \( \frac{6 \cdot 10}{15} = 4 \). EN = PE - PN = 4 - 4 = 0.

39. DE / CD = cos альфа. CE / CD = cos альфа = 2/3. CE = 10.

40. CN = 9. Пусть CE = х. cos C = \( \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} \)

41. Рассмотрим треугольник CDE и CNP. \( \frac{CE}{CD} = \frac{CP}{CN} \). \( \frac{CE}{15} = \frac{CP}{9} \). 9CE = 15CP. Пусть CP = x. CE = х + 4. 9 (х + 4) = 15 x. 9x + 36 = 15 x. 36 = 6 x. x = 6.

42. CN = \( \sqrt{6^2 + NP^2} = 9 \). NP = \( \sqrt{81 - 36} = 3 \sqrt{5} \). \( \frac{CP}{NP} = \frac{6}{3\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

43. \( \frac{CP}{CN} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)

44. См. рисунок. \( CN = 9. \) Пусть DE = y. CD = \( \sqrt{y^2 + 100} \). \( CD = 15 \) (т.к. \( CE/CD = CP/CN = 2/3. CE = 10 \). CD = 15. Тогда \( y = 5\sqrt{5} \) )

45. \( \frac{CE}{CD} = \frac{CE}{\sqrt{CE^2 + y^2}} \)

46. Так как \( CN = 9; ND = 6; CD = 15 \), то \( \frac{9}{15} = \frac{3}{5} \).

47. Т.к. \( PE = 4; CP = x; CE = x + 4. \) Значит \( \frac{x+4}{15} = \frac{x}{9} \).

48. Т.к. \( 9x + 36 = 15x; 36 = 6x; x = 6. \)Значит \( CP = 6. CE = 10. \)

49. Треугольник CEN: катеты - 6 и \( 3\sqrt{5} \). гипотенуза - 9.

50. Треугольник CED: катеты - 10 и \( 5\sqrt{5} \). гипотенуза - 15.

51. \( cos C = \frac{CE}{CD} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3} \)

52. Допустим PN = 10. Значит CN = \( \sqrt{CP^2 + 100} = 9 \). \( CP = \sqrt{-19} \)

53. CN/CD = CP/CE = NP/DE. CE/CD = cos C.

54. NP/PE = tg E \( \approx 2 \). CDE = 33.69. CEN = 41.41

55. Пусть угол C = α. \( \frac{CP}{CN} = cos \alpha \), \( \frac{PE}{EN} = tg \alpha \).

56. \( tg E = \frac{CN}{CP} \) = \( \frac{CN}{\sqrt{CN^2 - NP^2}} \)

57. PE = 4. Допустим PN = 2. CN = \( \sqrt{CP^2 + 4} = 9 \)

58. NP/CD = CD /CE; CEN - прямоугольный; CN = 9; CP = x; CD = 15; CE = x+4;

59. sin C = DE / 15. NP / PE. cos C = CE /15 .

60. tg альфа = \( \frac{\sqrt{1 - cos^2(\alpha)}}{cos(\alpha)} \). \( \frac{\sqrt{1 - (\frac{2}{3})^2}}{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \)

61. \( cos(C) = \frac{CN}{\sqrt{CN^2 + NP^2}} = \frac{9}{\sqrt{81 + 5}} \)

62. \( tg(\alpha) = \frac{\sqrt{1-cos^2(\alpha)}}{cos(\alpha)} \). \( sin(\alpha) = \frac{\sqrt{5}}{3} \); Cos (альфа ) = \( \frac{2}{3} \). Пусть CE = x, CD = 15; Тогда 15* sin =DE. cos = CE/CD = X/15. X \( = \sqrt{CN^2 - NP^2} \)

63. \( sin C = \frac{DE}{CD} = \frac{5\sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3} \)

64. Если CE = \( \sqrt{5} \), то sin C \( = \sqrt{5} \). Не правильно. Т.к. СЕ всегда больше 10.

Треугольник DNE и CDE - подобны. CD = 15. CE = 4. NP/DE = 2/5. PE \(= \sqrt{ 5} \)

Так как треугольники подобны, можно составить пропорцию: CP/CN = CN/DE. Где CP/CN = NP\( \sqrt{5} \). CN =3 . Тогда \( \sqrt{5} \).

cos С = \(\frac{3}{\sqrt{13}} \)

Ответ: \( \frac{3}{\sqrt{13}} \)

Result Card:

Ты — Цифровой атлет!

Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс.

Не будь NPC — кинь ссылку бро, который всё еще тупит над этой задачей.