Вариант №1 C.P.N3.1 Прямая МР перпендикулярна к плоскости треугольника МВК, MD – высота этого треугольника. Докажите, что PD1 ВК. Найдите площадь треугольника ВРК, если МР = 12см, КВ = 15см, ∠MDP = 45°.

Для решения данной задачи необходимо использовать знания из геометрии, а именно свойства перпендикулярности прямой и плоскости, признаки равенства треугольников и формулу площади треугольника.

1. Доказательство PD ⊥ BK:

По условию, прямая MP перпендикулярна плоскости треугольника MBK. Следовательно, MP перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, прямой BK. Таким образом, ∠MPB = 90°.

MD - высота треугольника MBK, значит, MD ⊥ BK. Следовательно, ∠MDB = 90°.

Рассмотрим треугольник MPD. Так как ∠MDP = 45°, то ∠MPD = 90° - 45° = 45°. Следовательно, треугольник MPD - равнобедренный, и MD = MP.

Рассмотрим треугольники MPB и MDB. У них:

• MB - общая сторона;
• ∠MPB = ∠MDB = 90°;
• MP = MD.

Следовательно, треугольники MPB и MDB равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что ∠MBP = ∠MBD, то есть BD = BP.

Таким образом, точка D является серединой отрезка BP. Так как MD - высота и медиана в треугольнике MBP, то этот треугольник равнобедренный, и MB = MP.

Рассмотрим треугольники PDB и KDB. У них:

• BD - общая сторона;
• PD = KD (так как D - середина BK);
• ∠PDB = ∠KDB = 90°.

Следовательно, треугольники PDB и KDB равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что PB = KB.

Так как PD ⊥ BK, то PD является высотой треугольника ВРК.

2. Найдём площадь треугольника ВРК:

$$MP = 12 \text{ см}$$, $$KB = 15 \text{ см}$$, $$∠MDP = 45°$$.

В равнобедренном треугольнике MPD (MD = MP) имеем: $$MD = MP = 12 \text{ см}$$.

Так как MD - высота треугольника MBK, то площадь треугольника MBK равна $$\frac{1}{2} cdot KB cdot MD = \frac{1}{2} cdot 15 \tcdot 12 = 90 \text{ см}^2$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник MDP. Тангенс угла MDP равен отношению противолежащего катета MP к прилежащему MD: $$tg(∠MDP) = \frac{MP}{MD}$$.

Из этого следует, что $$tg(45°) = \frac{12}{MD}$$. Так как $$tg(45°) = 1$$, то $$MD = 12 \text{ см}$$.

Поскольку PD ⊥ BK, то площадь треугольника ВРК можно найти как половину произведения основания BK на высоту PD: $$S_{BPK} = \frac{1}{2} cdot BK cdot PD$$.

Треугольник MPD - равнобедренный, поэтому PD = MD = 12 см.

Следовательно, $$S_{BPK} = \frac{1}{2} cdot 15 \tcdot 12 = 90 \text{ см}^2$$.

Ответ: Площадь треугольника ВРК равна 90 см².