1 вариант 1. Дана функция f(x) = 2x² - 3. Найти первообразную функции, график которой проходит через точку А(-3;2). 2. Вычислите интеграл: π a) f2₁ 2x3 dx; 6) So 2sinx dx. 1 3.Вычислите площадь фигуры, используя рисунок: VAy-x+6x-5 4 3 2 1+ 0 2 3 4 3 x 4.Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х²+ 1, у = 10. 5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: y = x²-2x+2, y = 2 +4x - x²

1. Нахождение первообразной функции

Дана функция \( f(x) = 2x^2 - 3 \). Нужно найти её первообразную \( F(x) \), а также учесть, что график первообразной проходит через точку \( A(-3, 2) \).

• Шаг 1: Находим общую первообразную

Первообразная функции \( f(x) = 2x^2 - 3 \) имеет вид: \[ F(x) = \int (2x^2 - 3) dx = \frac{2}{3}x^3 - 3x + C \]

• Шаг 2: Определяем константу C

Используем условие, что график первообразной проходит через точку \( A(-3, 2) \). Подставляем координаты точки в уравнение первообразной: \[ 2 = \frac{2}{3}(-3)^3 - 3(-3) + C \] \[ 2 = \frac{2}{3}(-27) + 9 + C \] \[ 2 = -18 + 9 + C \] \[ 2 = -9 + C \] \[ C = 11 \]

• Шаг 3: Записываем окончательную первообразную

Теперь, когда мы нашли константу \( C \), мы можем записать окончательную первообразную: \[ F(x) = \frac{2}{3}x^3 - 3x + 11 \]

2. Вычисление интегралов

• а) \( \int_{-1}^{2} 2x^3 dx \)

Вычисляем интеграл: \[ \int_{-1}^{2} 2x^3 dx = 2 \int_{-1}^{2} x^3 dx = 2 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{-1}^{2} = 2 \left( \frac{2^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right) = 2 \left( \frac{16}{4} - \frac{1}{4} \right) = 2 \left( \frac{15}{4} \right) = \frac{15}{2} = 7.5 \]

• б) \( \int_{0}^{\pi} 2\sin{x} dx \)

Вычисляем интеграл: \[ \int_{0}^{\pi} 2\sin{x} dx = 2 \int_{0}^{\pi} \sin{x} dx = 2 \left[ -\cos{x} \right]_{0}^{\pi} = 2 \left( -\cos{\pi} - (-\cos{0}) \right) = 2 \left( -(-1) - (-1) \right) = 2 \left( 1 + 1 \right) = 4 \]

3. Вычисление площади фигуры по рисунку

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = -x^2 + 6x - 5 \) и осью x, между точками x = 1 и x = 2. Необходимо вычислить интеграл: \[ \int_{1}^{2} (-x^2 + 6x - 5) dx \]

• Шаг 1: Вычисляем интеграл

\[ \int_{1}^{2} (-x^2 + 6x - 5) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x \right]_{1}^{2} \]

• Шаг 2: Подставляем пределы интегрирования

\[ \left( -\frac{2^3}{3} + 3(2)^2 - 5(2) \right) - \left( -\frac{1^3}{3} + 3(1)^2 - 5(1) \right) \] \[ \left( -\frac{8}{3} + 12 - 10 \right) - \left( -\frac{1}{3} + 3 - 5 \right) \] \[ \left( -\frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 2 \right) \] \[ -\frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} + 2 \] \[ -\frac{7}{3} + 4 = \frac{-7 + 12}{3} = \frac{5}{3} \]

Площадь фигуры равна \(\frac{5}{3}\)

4. Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 + 1 \) и \( y = 10 \)

• Шаг 1: Найдем точки пересечения

Приравняем функции, чтобы найти точки пересечения: \[ x^2 + 1 = 10 \] \[ x^2 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]

• Шаг 2: Вычислим интеграл

Площадь равна интегралу от разности функций от -3 до 3: \[ \int_{-3}^{3} (10 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-3}^{3} (9 - x^2) dx \] \[ \left[ 9x - \frac{x^3}{3} \right]_{-3}^{3} = \left( 9(3) - \frac{3^3}{3} \right) - \left( 9(-3) - \frac{(-3)^3}{3} \right) \] \[ (27 - 9) - (-27 - (-9)) = 18 - (-27 + 9) = 18 - (-18) = 36 \]

Площадь фигуры равна 36

5. Площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 - 2x + 2 \) и \( y = 2 + 4x - x^2 \)

• Шаг 1: Найдем точки пересечения

Приравняем функции, чтобы найти точки пересечения: \[ x^2 - 2x + 2 = 2 + 4x - x^2 \] \[ 2x^2 - 6x = 0 \] \[ 2x(x - 3) = 0 \] \[ x = 0, x = 3 \]

• Шаг 2: Вычислим интеграл

Площадь равна интегралу от разности функций от 0 до 3: \[ \int_{0}^{3} ((2 + 4x - x^2) - (x^2 - 2x + 2)) dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) dx \] \[ \left[ 3x^2 - \frac{2x^3}{3} \right]_{0}^{3} = \left( 3(3)^2 - \frac{2(3)^3}{3} \right) - \left( 3(0)^2 - \frac{2(0)^3}{3} \right) \] \[ (27 - 18) - (0 - 0) = 9 \]

Площадь фигуры равна 9