1 вариант 1. Дано: АО = BO, CO = DO, СО = 5 см, ВО = 3 см, BD = 4 см. Найти: периметр Д САО. 2. Луч AD - биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С, так, что ZADB = ∠ ADC. Доказать, что АВ = АС. 3. В равнобедренном треугольнике АВС точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD – медиана треугольника. Доказать, что Д BKD = A BMD. 4. (доп.) В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5: 2. Найти стороны треугольника. 2 вариант 1. Дано: АВ = CD, BC = AD, АС = 7 см, AD = 6 см, АВ = 4 см. Найти: периметр Д ADC. 2. На сторонах угла D отмечены точки Ми К так, что DM = DK. Точка Р лежит внутри угла и РК = РМ. Доказать, что луч DP- биссектриса угла MDK. 3. В равнобедренном ДАВС точки К и М являются серединами боковых сторон АВ и ВС соответственно. BD - медиана – треугольника. Доказать, что ДАКD = ACMD. 4. (доп.) В равнобедренном треугольнике с периметром 56 см основание относится к боковой стороне как 2: 3. Найти стороны треугольника.

Решение варианта 1

1. Рассмотрим рисунок. Так как AO = BO, CO = DO, то четырехугольник ABCD – параллелограмм (по признаку). Следовательно, CA = BD = 4 см (по свойству диагоналей параллелограмма). Периметр треугольника CAO равен CA + AO + CO.

   AO = BO = BD - DO = 4 - 5 = 1 см. (не подходит, так как сторона треугольника не может быть отрицательной величиной)

   Следовательно, BO = 3 см, DO = 5 см.

   АО = АВ - ОВ = 4 - 3 = 1 см.

   Периметр ΔСАО = CA + AO + CO = 4 + 1 + 5 = 10 см.

   Ответ: 10 см.

2. Рассмотрим треугольники ADB и ADC. AD - общая сторона, ∠ADB = ∠ADC (по условию). Так как AD - биссектриса угла A, то ∠DAB = ∠DAC. Следовательно, треугольники ADB и ADC равны по двум углам и прилежащей стороне (по второму признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что AB = AC.

   Ответ: доказано.

3. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC, BD - медиана. Следовательно, AD = DC. Рассмотрим треугольники BKD и BMD. BK = BM (так как K и M - середины равных сторон), BD - общая сторона, KD = MD (так как AD = DC и AK = MC). Следовательно, треугольники BKD и BMD равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников).

   Ответ: доказано.

4. Пусть боковая сторона равна 5x, а основание равно 2x. Тогда периметр треугольника равен 5x + 5x + 2x = 12x. По условию, периметр равен 48 см, следовательно, 12x = 48, x = 4. Боковая сторона равна 5 * 4 = 20 см, а основание равно 2 * 4 = 8 см.

   Ответ: 20 см, 20 см, 8 см.

Решение варианта 2

1. Так как AB = CD, BC = AD, то четырехугольник ABCD – параллелограмм (по признаку). Следовательно, AD = BC = 6 см (по свойству сторон параллелограмма), DC = AB = 4 см.

   Периметр ΔADC = AD + DC + AC = 6 + 4 + 7 = 17 см.

   Ответ: 17 см.

2. Рассмотрим треугольники DMР и DKР. DM = DK (по условию), РК = РМ (по условию), DP - общая сторона. Следовательно, треугольники DMР и DKР равны по трем сторонам (по третьему признаку равенства треугольников). Из равенства треугольников следует, что ∠MDP = ∠KDP, то есть луч DP - биссектриса угла MDK.

   Ответ: доказано.

3. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC, BD - медиана. Следовательно, AD = DC. Рассмотрим треугольники AKD и CMD. AK = MC (так как K и M - середины равных сторон), AD = CD, ∠A = ∠C (так как треугольник ABC равнобедренный). Следовательно, треугольники AKD и CMD равны по двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников).

   Ответ: доказано.

4. Пусть основание равно 2x, а боковая сторона равна 3x. Тогда периметр треугольника равен 2x + 3x + 3x = 8x. По условию, периметр равен 56 см, следовательно, 8x = 56, x = 7. Основание равно 2 * 7 = 14 см, а боковая сторона равна 3 * 7 = 21 см.

   Ответ: 14 см, 21 см, 21 см.