1 вариант. №1. Дано: ДАВС - прямоугольный (LC = 90°). Найдите ВС, если АВ = 10 см. (рисунок 1) №2. Дано: ДАВС - прямоугольный (LC = 90°). Найдите LA. (рисунок 2) №3. Даны два прямоугольных треугольника ДАВС, ДАРС, известно, что ВС = CD, угол АСВ = 55°. Доказать: ДАВС = ∆ADC. Найти угол BAD. (рисунок 3) №4. Дан ДАВС, ВО - высота. Доказать: Д АВО - ДСВО. Найдите АВ, если угол А=30°, BO = 6 см. (рисунок 4)

№1

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) известна гипотенуза \(AB = 10\) см и угол \(B = 60^\circ\). Нужно найти катет \(BC\).

Используем определение косинуса угла в прямоугольном треугольнике: \( \cos B = \frac{BC}{AB} \).

Пошаговое решение:

1. Выразим \(BC\) через \(AB\) и \( \cos B \): \( BC = AB \cdot \cos B \).
2. Подставим известные значения: \( BC = 10 \cdot \cos 60^\circ \).
3. Учитывая, что \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \), получим: \( BC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Ответ: \(BC = 5\) см.

№2

В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с прямым углом \(C\) известен угол \(B = 35^\circ\). Нужно найти угол \(A\).

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\), то есть \( \angle A + \angle B = 90^\circ \).

Пошаговое решение:

1. Выразим угол \(A\) через угол \(B\): \( \angle A = 90^\circ - \angle B \).
2. Подставим известное значение: \( \angle A = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ \).

Ответ: \(\angle A = 55^\circ\).

№3

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle ADC \) - прямоугольные, \( BC = CD \), \( \angle ACB = 55^\circ \). Доказать: \( \triangle ABC = \triangle ADC \). Найти \( \angle BAD \).

Раз \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то \( AC \) – общая сторона. \( BC = CD \) (дано). Следовательно, \( \triangle ABC = \triangle ADC \) по двум катетам.

Пошаговое решение:

1. Так как \( \triangle ABC = \triangle ADC \), то \( \angle BAC = \angle DAC \).
2. Найдем \( \angle BAC \): \( \angle BAC = 90^\circ - \angle ACB = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ \).
3. Тогда \( \angle BAD = \angle BAC + \angle DAC = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ \).

Ответ: \( \angle BAD = 70^\circ \).

№4

Дано: \( \triangle ABC \), \( BO \) – высота. Доказать: \( \triangle ABO = \triangle CBO \). Найти \( AB \), если \( \angle A = 30^\circ \), \( BO = 6 \) см.

Рассмотрим \( \triangle ABO \) и \( \triangle CBO \):

\( AO = OC \) (так как \( BO \) - высота и медиана, а значит, \( \triangle ABC \) – равнобедренный).

\( BO \) – общая сторона.

\( \angle AOB = \angle COB = 90^\circ \) (так как \( BO \) - высота).

Следовательно, \( \triangle ABO = \triangle CBO \) по двум катетам.

Пошаговое решение:

1. В прямоугольном треугольнике \(ABO\) против угла в \(30^\circ\) лежит катет, равный половине гипотенузы, то есть \(BO = \frac{1}{2} AB\).
2. Выразим \(AB\) через \(BO\): \( AB = 2 \cdot BO \).
3. Подставим известное значение: \( AB = 2 \cdot 6 = 12 \) см.

Ответ: \(AB = 12\) см.