Вариант 2 1. Дано: РЕ||NK, MP = 8, MN = 12, МЕ = 6 (рис. 2). Найти: а) МК; б) ЅMPE; B) PMPE

Решение

Это задача на подобие треугольников.

а) Рассмотрим треугольники MPE и MNK. Так как PE || NK, то углы MPE и MNK равны как соответственные углы при параллельных прямых PE и NK и секущей MN. Угол M - общий. Следовательно, треугольники MPE и MNK подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[\frac{MP}{MN} = \frac{ME}{MK}\]

Подставим известные значения: \[\frac{8}{12} = \frac{6}{MK}\]

Решим уравнение относительно MK: \[MK = \frac{6 \cdot 12}{8} = \frac{72}{8} = 9\]

б) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия: \[\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \left(\frac{MP}{MN}\right)^2 = \left(\frac{8}{12}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}\]

в) Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия: \[\frac{P_{MPE}}{P_{MNK}} = \frac{MP}{MN} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}\]

Ответ: а) MK = 9; б) \(\frac{S_{MPE}}{S_{MNK}} = \frac{4}{9}\); в) \(\frac{P_{MPE}}{P_{MNK}} = \frac{2}{3}\)