Вариант №2 Даны окружность с центром О радиуса 5 см и точка А. Через точку А проведены две касательные к окружности. Найдите угол между ними, если ОА = 10 см. 2) Дана окружность с центром в точке О. Прямая пере секает окружность в точках А и Н. Найдите расстояние от точки О до прямой, если АН = 6 см, угол АОН = 90° 3) Найдите длину отрезка АВ, касательного к окруж ности с центром О, где В - точка касания, если угол АОВ равен 45°, а радиус окружности 14 см.

Задача 1: Угол между касательными

Пусть касательные, проведённые из точки A к окружности с центром O, касаются её в точках B и C. Тогда OB = OC = 5 см (радиусы), OA = 10 см. Углы OBA и OCA прямые (касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания). Треугольники OBA и OCA прямоугольные.

• Рассмотрим треугольник OBA. sin(∠BOA) = OB / OA = 5 / 10 = 1/2. Значит, угол ∠BOA = 30°.
• Угол между касательными равен 2 * ∠BOA.

Ответ: 60°

Задача 2: Расстояние от точки O до прямой

Пусть прямая пересекает окружность в точках A и H. Нужно найти расстояние от точки O до прямой AH, если AH = 6 см и угол AOH = 90°. Пусть M — середина отрезка AH, тогда OM — перпендикуляр к AH (так как треугольник AOH равнобедренный, OM является высотой и медианой).

• AM = AH / 2 = 6 / 2 = 3 см.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. OM = OA * cos(∠AOM).
• Угол ∠AOM = ∠AOH / 2 = 90° / 2 = 45°.
• OM = OA * cos(45°) = OA * (√2 / 2). Так как OA — радиус, найдём его из прямоугольного треугольника AOH.
• По теореме Пифагора, OA² + OH² = AH². Но OA = OH, так как это радиусы. 2*OA² = AH² = 6², значит OA=3*√2.
• Тогда OM = 3*√2 * (√2 / 2) = 3 см.

Ответ: 3 см

Задача 3: Длина отрезка касательной

Дана окружность с центром O, радиус окружности равен 14 см. Отрезок AB — касательная к окружности, где B — точка касания. Угол AOB = 45°. Нужно найти длину отрезка AB.

• Треугольник ABO прямоугольный (так как AB — касательная).
• tg(∠AOB) = AB / OB, где OB — радиус окружности.
• AB = OB * tg(45°) = 14 * 1 = 14 см.

Ответ: 14 см