Вариант 2 Даны точки А (2; -1), С (3; 2) и D (-3; 1). Найдите: 1. 1) координаты векторов АС и AD; 2) модули векторов АС и AD; 3) координаты вектора EF = 3AC -2AD; 4) скалярное произведение векторов АС и AD; 5) косинус угла между векторами АС и AD. 2. Начертите треугольник АВС. Постройте вектор: 1) AC + CB; 2) BA - BC; 3) AC + AB. 3. Даны векторы а (3; 4) и Б (т; 9). При каком значении т векторы а и в: 1) коллинеарны; 2) перпендикулярны? 4. На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены соответ ственно точки М и К так, что АМ: МВ = 3: 4, BK: KC = 2 : 3. Выра зите вектор МК через векторы DA = а и DC = Б. 5. Найдите косинус угла между векторами т = 50 + 6 и п = 2а - Б, если абиа=6= 1.

1.

Даны точки A(2; -1), C(3; 2) и D(-3; 1). Найдите:

1. Координаты векторов $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Найдем координаты вектора $$\overrightarrow{AC}$$.

$$\overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (3 - 2; 2 - (-1)) = (1; 3)$$.

Найдем координаты вектора $$\overrightarrow{AD}$$.

$$\overrightarrow{AD} = (x_D - x_A; y_D - y_A) = (-3 - 2; 1 - (-1)) = (-5; 2)$$.

Ответ: $$\overrightarrow{AC} = (1; 3)$$; $$\overrightarrow{AD} = (-5; 2)$$

2. Модули векторов $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Модуль вектора $$\overrightarrow{AC}$$ равен:

$$|\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$.

Модуль вектора $$\overrightarrow{AD}$$ равен:

$$|\overrightarrow{AD}| = \sqrt{(-5)^2 + 2^2} = \sqrt{25 + 4} = \sqrt{29}$$.

Ответ: $$\sqrt{10}$$; $$\sqrt{29}$$

3. Координаты вектора $$\overrightarrow{EF} = 3\overrightarrow{AC} - 2\overrightarrow{AD}$$.

Найдем координаты вектора $$3\overrightarrow{AC}$$.

$$3\overrightarrow{AC} = 3(1; 3) = (3; 9)$$.

Найдем координаты вектора $$2\overrightarrow{AD}$$.

$$2\overrightarrow{AD} = 2(-5; 2) = (-10; 4)$$.

Тогда вектор $$\overrightarrow{EF}$$ равен:

$$\overrightarrow{EF} = (3 - (-10); 9 - 4) = (13; 5)$$.

Ответ: $$\overrightarrow{EF} = (13; 5)$$.

4. Скалярное произведение векторов $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Скалярное произведение векторов равно:

$$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = x_1x_2 + y_1y_2 = 1 \cdot (-5) + 3 \cdot 2 = -5 + 6 = 1$$.

Ответ: 1

5. Косинус угла между векторами $$\overrightarrow{AC}$$ и $$\overrightarrow{AD}$$.

Косинус угла между векторами равен:

$$cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}| \cdot |\overrightarrow{AD}|} = \frac{1}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{29}} = \frac{1}{\sqrt{290}}$$.

Ответ: $$\frac{1}{\sqrt{290}}$$.

2.

Начертите треугольник ABC. Постройте вектор:

1. $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB}$$.

По правилу сложения векторов $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{AB}$$

2. $$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}$$.

По правилу вычитания векторов $$\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{CA}$$

3. $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB}$$.

По правилу параллелограмма $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AD}$$, где D - вершина параллелограмма ABDC.

Ответ: $$\overrightarrow{AD}$$

3.

Даны векторы $$\vec{a}(3; -4)$$ и $$\vec{b}(m; 9)$$. При каком значении m векторы $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$:

1. коллинеарны;

Векторы коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

$$\frac{3}{m} = \frac{-4}{9}$$, откуда $$m = \frac{3 \cdot 9}{-4} = -\frac{27}{4} = -6.75$$.

Ответ: $$m = -6.75$$

2. перпендикулярны?

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0:

$$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3m + (-4) \cdot 9 = 3m - 36 = 0$$, откуда $$3m = 36$$, $$m = 12$$.

Ответ: $$m = 12$$

4.

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD отмечены соответственно точки M и K так, что AM : MB = 3 : 4, BK : KC = 2 : 3. Выразите вектор $$\overrightarrow{MK}$$ через векторы $$\overrightarrow{DA} = \vec{a}$$ и $$\overrightarrow{DC} = \vec{b}$$.

$$\overrightarrow{MK} = \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{AK}$$.

$$\overrightarrow{MA} = -\overrightarrow{AM} = -\frac{3}{7} \overrightarrow{AB} = -\frac{3}{7} \overrightarrow{DC} = -\frac{3}{7} \vec{b}$$.

$$\overrightarrow{AK} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BK} = \overrightarrow{DC} + \frac{2}{5} \overrightarrow{BC} = \vec{b} + \frac{2}{5} \overrightarrow{AD} = \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a}$$.

$$\overrightarrow{MK} = -\frac{3}{7} \vec{b} + \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a} = \frac{4}{7} \vec{b} - \frac{2}{5} \vec{a} = -\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$$.

Ответ: $$\overrightarrow{MK} = -\frac{2}{5} \vec{a} + \frac{4}{7} \vec{b}$$.

5.

Найдите косинус угла между векторами $$\vec{m} = 5\vec{a} + \vec{b}$$ и $$\vec{n} = 2\vec{a} - \vec{b}$$, если $$\vec{a} \perp \vec{b}$$ и $$|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$$.

$$\vec{m} \cdot \vec{n} = (5\vec{a} + \vec{b}) \cdot (2\vec{a} - \vec{b}) = 10 \vec{a}^2 - 5 \vec{a} \cdot \vec{b} + 2 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b}^2 = 10 \vec{a}^2 - 3 \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{b}^2$$.

Так как $$\vec{a} \perp \vec{b}$$, то $$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$$.

Тогда $$\vec{m} \cdot \vec{n} = 10 \vec{a}^2 - \vec{b}^2 = 10 |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2 = 10 \cdot 1^2 - 1^2 = 10 - 1 = 9$$.

$$|\vec{m}| = |5\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{(5\vec{a} + \vec{b})^2} = \sqrt{25\vec{a}^2 + 10\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{25|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{25 \cdot 1 + 1} = \sqrt{26}$$.

$$|\vec{n}| = |2\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{(2\vec{a} - \vec{b})^2} = \sqrt{4\vec{a}^2 - 4\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b}^2} = \sqrt{4|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2} = \sqrt{4 \cdot 1 + 1} = \sqrt{5}$$.

$$cos(\alpha) = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{|\vec{m}| \cdot |\vec{n}|} = \frac{9}{\sqrt{26} \cdot \sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{130}}$$.

Ответ: $$\frac{9}{\sqrt{130}}$$.