1 вариант 1. Диаметр шара равен высоте конуса, образующая которого составляет с плоскостью основания угол, равный 60°. Найдите отношение объёмов конуса и шара. 2. Объём цилиндра равен 96л см³, площадь его осевого сечения 48см². Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра. 3. В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2р, а прилежащий угол равен 30°. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 45°. Найдите объём конуса. 4. Радиус основания цилиндра равен 5 см, а высота цилиндра равна 6 см. Найдите площадь сечения, проведенного параллельно оси цилиндра на расстоянии 4 см от нее. 4. Радиус шара равен 17 см. Найдите площадь сечения шара, удаленного от его центра на 15 см. 6. Радиус основания конуса равен 3 м, а высота 4 м. Найдите образующую и площадь осевого сечения.

1. Отношение объемов конуса и шара

Пусть диаметр шара равен d, тогда высота конуса h = d, а радиус шара r = d/2. Угол между образующей и плоскостью основания равен 60°, следовательно, радиус основания конуса R = h * tg(30°) = d * (1/\(\sqrt{3}\)).

Объем конуса: \[V_{конуса} = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{d}{\sqrt{3}})^2 d = \frac{\pi d^3}{9}\]

Объем шара: \[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{\pi d^3}{6}\]

Отношение объемов: \[\frac{V_{конуса}}{V_{шара}} = \frac{\frac{\pi d^3}{9}}{\frac{\pi d^3}{6}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\]

Ответ: 2/3

2. Площадь сферы, описанной около цилиндра

Объем цилиндра: \(V = \pi r^2 h = 96\pi\), площадь осевого сечения: \(2rh = 48\). Отсюда, \(r h = 24\) и \(\pi r^2 h = 96\pi\), следовательно, \(r^2 h = 96\).

Из \(rh = 24\) выразим \(h = \frac{24}{r}\). Подставим в \(r^2 h = 96\): \(r^2 (\frac{24}{r}) = 96\), откуда \(r = 4\) см, тогда \(h = \frac{24}{4} = 6\) см.

Радиус сферы, описанной около цилиндра: \[R = \frac{\sqrt{r^2 + (\frac{h}{2})^2}}{2} = \frac{\sqrt{4^2 + 3^2}}{2} = \frac{\sqrt{16 + 9}}{2} = \frac{\sqrt{25}}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\]

Площадь сферы: \[S = 4 \pi R^2 = 4 \pi (2.5)^2 = 25 \pi\]

Ответ: \(25\pi\) см²

3. Объем конуса, в который вписана пирамида

Основание пирамиды - прямоугольный треугольник с катетом 2p и прилежащим углом 30°. Второй катет треугольника равен \(2p \cdot tg(30°) = 2p \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\).

Площадь основания пирамиды: \[S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 2p \cdot 2p \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{2p^2 \sqrt{3}}{3}\]

Так как боковая грань пирамиды, проходящая через катет 2p, составляет с плоскостью основания угол 45°, высота пирамиды (и конуса) равна катету: h = 2p.

Радиус основания конуса равен половине гипотенузы основания пирамиды. Гипотенуза: \(\sqrt{(2p)^2 + (\frac{2p \sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{4p^2 + \frac{4p^2}{3}} = \sqrt{\frac{16p^2}{3}} = \frac{4p}{\sqrt{3}}\)

Радиус основания конуса: \[R = \frac{2p}{\sqrt{3}}\]

Объем конуса: \[V = \frac{1}{3} \pi R^2 h = \frac{1}{3} \pi (\frac{2p}{\sqrt{3}})^2 (2p) = \frac{1}{3} \pi \frac{4p^2}{3} 2p = \frac{8\pi p^3}{9}\]

Ответ: \[\frac{8\pi p^3}{9}\]

4. Площадь сечения цилиндра

Радиус основания цилиндра r = 5 см, высота h = 6 см. Сечение проведено параллельно оси на расстоянии 4 см от нее.

Высота прямоугольника, получившегося в сечении, равна высоте цилиндра: h = 6 см.

Второй стороной прямоугольника является хорда основания, находящаяся на расстоянии 4 см от центра. По теореме Пифагора половина этой хорды равна \(\sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\). Тогда вся хорда равна \(2 \cdot 3 = 6\) см.

Площадь сечения: \[S = 6 \cdot 6 = 36\]

Ответ: 36 см²

5. Площадь сечения шара

Радиус шара R = 17 см. Сечение удалено от центра на d = 15 см.

Радиус сечения шара: \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{289 - 225} = \sqrt{64} = 8\) см.

Площадь сечения шара: \[S = \pi r^2 = \pi (8^2) = 64\pi\]

Ответ: \(64\pi\) см²

6. Образующая и площадь осевого сечения конуса

Радиус основания конуса R = 3 м, высота h = 4 м.

Образующая конуса: \(l = \sqrt{R^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) м.

Площадь осевого сечения (равнобедренного треугольника): \[S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h = 3 \cdot 4 = 12\]

Ответ: образующая 5 м, площадь осевого сечения 12 м²