2 вариант 1. Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объёмов шара и цилиндра. 2. В конус, осевое сечение которого есть правильный треугольник, вписан шар. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса. 3. В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2р, а прилежащий угол равен 60°. Диагональ большей боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 45°. Найдите объём цилиндра. Высота цилиндра 8 дм, радиус основания 5 дм. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от этого сечения до оси цилиндра. 5. Радиус сферы равен 15 см. Найдите длину окружности сечения, удаленного от центра сферы на 12 см. 6. Образующая конуса / наклонена к плоскости основания под углом в 30°. Найдите высоту конуса и площадь осевого сечения.

1. Отношение объемов шара и цилиндра

Диаметр шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого - квадрат. Пусть диаметр шара равен d, тогда высота цилиндра h = d, радиус цилиндра r = d/2, радиус шара R = d/2.

Объем шара: \[V_{шара} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{d}{2})^3 = \frac{\pi d^3}{6}\]

Объем цилиндра: \[V_{цилиндра} = \pi r^2 h = \pi (\frac{d}{2})^2 d = \frac{\pi d^3}{4}\]

Отношение объемов: \[\frac{V_{шара}}{V_{цилиндра}} = \frac{\frac{\pi d^3}{6}}{\frac{\pi d^3}{4}} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]

Ответ: 2/3

2. Отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса

Осевое сечение конуса - правильный треугольник, в который вписан шар. Радиус шара r, сторона треугольника a.

Радиус вписанного шара в конус с правильным треугольником в осевом сечении равен \(r = \frac{a}{2 \sqrt{3}}\}. Площадь сферы: \[S_{сферы} = 4 \pi r^2 = 4 \pi (\frac{a}{2 \sqrt{3}})^2 = \frac{\pi a^2}{3}\]

Радиус основания конуса: \(R = \frac{a}{2}\). Образующая конуса равна стороне треугольника: l = a. Площадь боковой поверхности конуса: \[S_{бок} = \pi R l = \pi \frac{a}{2} a = \frac{\pi a^2}{2}\]

Отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса: \[ \frac{S_{сферы}}{S_{бок}} = \frac{\frac{\pi a^2}{3}}{\frac{\pi a^2}{2}} = \frac{2}{3}\]

Ответ: 2/3

3. Объем цилиндра, в который вписана призма

Основание призмы - прямоугольный треугольник с катетом 2p и прилежащим углом 60°. Второй катет: \(2p \cdot tg(60°) = 2p \sqrt{3}\).

Большая боковая грань призмы проходит через катет \(2p \sqrt{3}\). Диагональ этой грани составляет с плоскостью основания угол 45°, следовательно, высота призмы равна катету \(2p \sqrt{3}\).

Радиус основания цилиндра равен половине гипотенузы основания призмы. Гипотенуза: \(\sqrt{(2p)^2 + (2p \sqrt{3})^2} = \sqrt{4p^2 + 12p^2} = \sqrt{16p^2} = 4p\).

Радиус основания цилиндра: \[R = 2p\]

Высота цилиндра равна высоте призмы: \[h = 2p \sqrt{3}\]

Объем цилиндра: \[V = \pi R^2 h = \pi (2p)^2 (2p \sqrt{3}) = 8 \pi p^3 \sqrt{3}\]

Ответ: \[8 \pi p^3 \sqrt{3}\]

4. Расстояние от сечения до оси цилиндра

Высота цилиндра h = 8 дм, радиус основания R = 5 дм. Сечение - квадрат, параллельное оси цилиндра. Сторона квадрата равна высоте цилиндра: 8 дм.

Хорда, являющаяся стороной квадрата, равна 8 дм. Половина хорды равна 4 дм. Расстояние от центра основания цилиндра до этой хорды: \[d = \sqrt{R^2 - (\frac{horda}{2})^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3\]

Ответ: 3 дм

5. Длина окружности сечения сферы

Радиус сферы R = 15 см. Сечение удалено от центра на d = 12 см.

Радиус сечения сферы: \(r = \sqrt{R^2 - d^2} = \sqrt{15^2 - 12^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} = 9\) см.

Длина окружности сечения: \[L = 2 \pi r = 2 \pi (9) = 18\pi\]

Ответ: \(18\pi\) см

6. Высота конуса и площадь осевого сечения

Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 30°. Пусть образующая равна l. Радиус основания конуса: R. Высота конуса: h.

Угол между образующей и основанием равен 30°, значит \(h = l \cdot sin(30°) = \frac{l}{2}\). Радиус основания конуса: \(R = l \cdot cos(30°) = \frac{l \sqrt{3}}{2}\).

Площадь осевого сечения конуса: \[S = \frac{1}{2} \cdot 2R \cdot h = R \cdot h = \frac{l \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{l}{2} = \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}\]

Так как угол 30°, то высота равна половине образующей, а радиус основания \(R = \frac{l \sqrt{3}}{2}\).

Ответ: высота \[\frac{l}{2}\] , площадь осевого сечения \[ \frac{l^2 \sqrt{3}}{4}\]