1 Вариант 1. Доказать, что функция у F(x) = e3x + cosx + х являет- ся первообразной функции f(x) = 3e3x - sinx + 1 на всей числовой прямой. 2. Найти первообразную F функ- ции f(x) = -33/х, график ко- торой проходит через точку A0; 3/4. 3. Вычислить площадь фигуры F, изображённой на рисунке 91. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной прямой у = 3-2x и графиком функции у = x² + 3x - 3. 2 Вариант

Задание 1

Чтобы доказать, что функция F(x) является первообразной для f(x), нужно проверить, что производная F(x) равна f(x). Давай найдем производную F(x) = e^3x + cos(x) + x:

F'(x) = (e^3x)' + (cos(x))' + (x)' = 3e^3x - sin(x) + 1 = f(x)

Так как F'(x) = f(x), то F(x) действительно является первообразной для f(x).

Задание 2

Нам дана функция f(x) = -3\(\sqrt[3]{x}\). Нужно найти её первообразную F(x), график которой проходит через точку A(0; 3/4).

Сначала найдем первообразную F(x):

F(x) = \(\int f(x) dx = \int -3\sqrt[3]{x} dx = -3 \int x^{1/3} dx = -3 \cdot \frac{x^{4/3}}{4/3} + C = -3 \cdot \frac{3}{4} x^{4/3} + C = -\frac{9}{4} x^{4/3} + C\)

Теперь используем условие, что график F(x) проходит через точку A(0; 3/4), то есть F(0) = 3/4:

F(0) = -\(\frac{9}{4} \cdot 0^{4/3} + C = \frac{3}{4}\)

Отсюда C = 3/4. Значит, первообразная имеет вид:

F(x) = -\(\frac{9}{4} x^{4/3} + \frac{3}{4}\)

Задание 3

Вычислим площадь фигуры F, изображенной на рисунке 91. Из графика видно, что фигура ограничена сверху графиком функции y = -x² + 6x - 5, а снизу осью x (y = 0). Также из графика определяем пределы интегрирования: x = 1 и x = 5.

Площадь фигуры F вычисляется как определенный интеграл от функции y = -x² + 6x - 5 в пределах от 1 до 5:

S = \(\int_{1}^{5} (-x^2 + 6x - 5) dx\)

Найдем интеграл:

\(\int (-x^2 + 6x - 5) dx = -\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x + C\)

Теперь вычислим определенный интеграл:

\(S = [-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 5x]_{1}^{5} = (-\frac{5^3}{3} + 3 \cdot 5^2 - 5 \cdot 5) - (-\frac{1^3}{3} + 3 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1) = (-\frac{125}{3} + 75 - 25) - (-\frac{1}{3} + 3 - 5) = (50 - \frac{125}{3}) - (-\frac{1}{3} - 2) = 50 - \frac{125}{3} + \frac{1}{3} + 2 = 52 - \frac{124}{3} = \frac{156 - 124}{3} = \frac{32}{3}\)

Таким образом, площадь фигуры F равна \(\frac{32}{3}\) или 10\(\frac{2}{3}\).

Задание 4

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой y = 3 - 2x и графиком функции y = x² + 3x - 3.

Сначала найдем точки пересечения прямой и параболы, приравняв их уравнения:

3 - 2x = x² + 3x - 3

x² + 5x - 6 = 0

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант D = 5² - 4*1*(-6) = 25 + 24 = 49. Корни уравнения:

x₁ = (-5 + \(\sqrt{49}\))/2 = (-5 + 7)/2 = 1

x₂ = (-5 - \(\sqrt{49}\))/2 = (-5 - 7)/2 = -6

Теперь найдем площадь фигуры как определенный интеграл разности функций от -6 до 1:

S = \(\int_{-6}^{1} [(3 - 2x) - (x^2 + 3x - 3)] dx = \int_{-6}^{1} (-x^2 - 5x + 6) dx\)

Найдем интеграл:

\(\int (-x^2 - 5x + 6) dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x + C\)

Теперь вычислим определенный интеграл:

S = \([-\frac{x^3}{3} - \frac{5x^2}{2} + 6x]_{-6}^{1} = (-\frac{1^3}{3} - \frac{5 \cdot 1^2}{2} + 6 \cdot 1) - (-\frac{(-6)^3}{3} - \frac{5 \cdot (-6)^2}{2} + 6 \cdot (-6)) = (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6) - (72 - 90 - 36) = (-\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6) - (-54) + 18 = -\frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6 + 54 + 18 = 78 - \frac{1}{3} - \frac{5}{2} + 6 = 78 + \frac{36 - 2 - 15}{6} = 78 + \frac{19}{6} = \frac{468 + 19}{6} = \frac{487}{6}\)

Таким образом, площадь фигуры равна \(\frac{343}{6}\) или 57\(\frac{1}{6}\).