Вариант 1 Две стороны треугольника равны 10 см и 12 см, а угол между ними – 60°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. В треугольнике АВС известно, что АС треугольника. В треугольнике АВС известно, что АС = 9 см, АВ = 5 см, треугольника. В ДАВС Найдите сторону ВС. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 6 см, 8 см и 11 см. Вариант 2 Две стороны треугольника равны 8 см и 4 см, а угол между ними – 30°. Найдите третью сторону треугольника и его площадь. В треугольнике АВС известно, что ВС = 7 см, ∠A = 45°, ∠B = 30°. Найдите сторону АС треугольника. В треугольнике АВС известно, что АС = 6 см, АВ = 10 см, АС= 8 см. Найдите все углы треугольника В ДМК сторона МК = 5 см, сторона MN = 6 см, Найдите сторону NK. Определите, остроугольным, прямоугольным или тупоугольным является треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см.

Пусть a = 10 см, b = 12 см, γ = 60°.

По теореме косинусов: c² = a² + b² - 2ab cos(γ)

c² = 10² + 12² - 2 * 10 * 12 * cos(60°) = 100 + 144 - 240 * 0.5 = 244 - 120 = 124

c = √124 ≈ 11.14 см

Площадь треугольника: S = 0.5 * a * b * sin(γ) = 0.5 * 10 * 12 * sin(60°) = 0.5 * 10 * 12 * (√3/2) = 30√3 ≈ 51.96 см²

По теореме синусов: a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
Пусть a = BC, b = AC = 5 см, c = AB, ∠A = 180° - 45° - 30° = 105°

AB / sin(30°) = 5 / sin(45°)

AB = (5 * sin(30°)) / sin(45°) = (5 * 0.5) / (√2/2) = 2.5 / (√2/2) = 2.5 * (2/√2) = 5/√2 ≈ 3.54 см

По теореме косинусов: cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc)
Пусть a = BC = 8 см, b = AC = 9 см, c = AB = 5 см

cos(A) = (9² + 5² - 8²) / (2 * 9 * 5) = (81 + 25 - 64) / 90 = 42 / 90 ≈ 0.467

A = arccos(0.467) ≈ 62.18°

cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac) = (8² + 5² - 9²) / (2 * 8 * 5) = (64 + 25 - 81) / 80 = 8 / 80 = 0.1

B = arccos(0.1) ≈ 84.26°

C = 180° - A - B = 180° - 62.18° - 84.26° ≈ 33.56°

Проверим, является ли треугольник остроугольным, прямоугольным или тупоугольным: a² + b² ? c²
a = 6 см, b = 8 см, c = 11 см

6² + 8² = 36 + 64 = 100

11² = 121

Т.к. 100 < 121, то треугольник тупоугольный.

a = 8 см, b = 4 см, γ = 30°

c² = a² + b² - 2ab cos(γ) = 8² + 4² - 2 * 8 * 4 * cos(30°) = 64 + 16 - 64 * (√3/2) = 80 - 32√3 ≈ 24.57

c = √24.57 ≈ 4.96 см

Площадь: S = 0.5 * a * b * sin(γ) = 0.5 * 8 * 4 * sin(30°) = 0.5 * 8 * 4 * 0.5 = 8 см²

По теореме синусов: AC / sin(B) = BC / sin(A)

AC / sin(30°) = 7 / sin(45°)

AC = (7 * sin(30°)) / sin(45°) = (7 * 0.5) / (√2/2) = 3.5 / (√2/2) = 3.5 * (2/√2) = 7/√2 ≈ 4.95 см

Пусть a = BC = 8 см, b = AC = 6 см, c = AB = 10 см
cos(A) = (b² + c² - a²) / (2bc) = (6² + 10² - 8²) / (2 * 6 * 10) = (36 + 100 - 64) / 120 = 72 / 120 = 0.6

A = arccos(0.6) ≈ 53.13°

cos(B) = (a² + c² - b²) / (2ac) = (8² + 10² - 6²) / (2 * 8 * 10) = (64 + 100 - 36) / 160 = 128 / 160 = 0.8

B = arccos(0.8) ≈ 36.87°

C = 180° - A - B = 180° - 53.13° - 36.87° = 90°

Не хватает данных, чтобы найти сторону NK. Определим, является ли треугольник со сторонами 5 см, 9 см и 12 см остроугольным, прямоугольным или тупоугольным.

a = 5 см, b = 9 см, c = 12 см

5² + 9² = 25 + 81 = 106

12² = 144

Т.к. 106 < 144, то треугольник тупоугольный.