Вариант Г6. 1) Постройте график функции и опишите его свойства: y = −4x². 2) Решите уравнения: а) x² − 2x + √(4 − x) = √(4 − x) + 15; б) x³ + 2x² − x − 2 = 0.

1. График функции y = −4x²

Это парабола, полученная из графика y = x² растяжением в 4 раза и отражением относительно оси Ox.

• Вершина: O(0; 0).
• Ось симметрии: x = 0.
• Ветви направлены вниз.
• Область определения: \(D(y)=(-∞; +∞)\).
• Область значений: \(E(y)=(-∞; 0]\).
• Функция возрастает на \((-∞; 0]\) и убывает на \([0; +∞)\).
• Наибольшее значение равно 0 при x = 0; наименьшего значения нет.
• График пересекает оси координат в точке O(0; 0); при x ≠ 0 значение функции отрицательно.

2а. \(x^2-2x+\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x}+15\).

ОДЗ: \(4-x\ge 0\), поэтому \(x\le 4\).

Сократим одинаковые слагаемые:

\(x^2-2x=15\),
\(x^2-2x-15=0\),
\((x-5)(x+3)=0\).

Получаем \(x=5\) или \(x=-3\). Число 5 не входит в ОДЗ, а число −3 входит.

Ответ: \(x=-3\).

2б. \(x^3+2x^2-x-2=0\).

Сгруппируем слагаемые:

\(x^2(x+2)-1(x+2)=0\),
\((x+2)(x^2-1)=0\),
\((x+2)(x-1)(x+1)=0\).

Ответ: \(x=-2;\ -1;\ 1\).