Вариант I. 1. Диагональ ромба образует с одной из его сторон угол 45°. Найдите углы ромба. 2. Найти стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 65 см, а сторона AB больше BC на 5 см. 3. Найти углы параллелограмма ABCD, если известно, что угол A больше угла B в 7 раз. 4. В равнобокой трапеции сумма углов при большем основании равна 116°. Найдите углы трапеции. 5. Периметр параллелограмма 50 см. Одна из его сторон на 5 см больше другой. Найдите длины сторон параллелограмма.

Диагональ ромба делит угол при своей вершине пополам. Поэтому угол ромба равен 45° + 45° = 90°. Соседние углы параллелограмма в сумме дают 180°, значит каждый угол ромба прямой.

Ответ: 90°, 90°, 90°, 90°.

Обозначим BC = x см. Тогда AB = x + 5 см. Из формулы периметра параллелограмма:

2(x + x + 5) = 65; 2x + 5 = 32,5; 2x = 27,5; x = 13,75.

Следовательно, BC = AD = 13,75 см, а AB = CD = 18,75 см.

Ответ: AB = CD = 18,75 см; BC = AD = 13,75 см.

Пусть ∠B = x, тогда ∠A = 7x. Соседние углы параллелограмма supplementary: x + 7x = 180°, откуда x = 22,5°.

Значит, ∠B = ∠D = 22,5°, ∠A = ∠C = 157,5°.

Ответ: ∠A = ∠C = 157,5°; ∠B = ∠D = 22,5°.

В равнобокой трапеции углы при большем основании равны. Их сумма равна 116°, поэтому каждый из них равен 116° : 2 = 58°. Углы при каждой боковой стороне в сумме составляют 180°.

Остальные углы: 180° − 58° = 122°.

Ответ: 58°, 58°, 122°, 122°.

Пусть меньшая сторона равна x см, тогда большая — x + 5 см. По формуле периметра:

2(x + x + 5) = 50; 2x + 5 = 25; 2x = 20; x = 10.

Ответ: стороны параллелограмма — 10 см и 15 см.