Вариант I. 1. Доказать равенство треугольников ABF и ADF, если AB = AD, углы BAF и DAF равны. 2. Отрезки MN и KP пересекаются в точке O так, что OK = OP, OM = ON. Доказать равенство треугольников OMK и ONP. Найти NP, если MK = 4,8 см. 3. Одна сторона треугольника 24 см, вторая сторона на 18 см больше первой, третья сторона в 2 раза меньше второй. Найти периметр треугольника. 4. Одна сторона треугольника на 41 см меньше второй и в 4 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 107 см.

1. Рассмотрим треугольники ABF и ADF. По условию AB = AD, AF — общая сторона, а ∠BAF = ∠DAF. Следовательно, треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

2. ∠MOK = ∠NOP, так как это вертикальные углы. Также OK = OP и OM = ON. Значит, треугольники OMK и ONP равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства соответствующих сторон MK = NP, поэтому NP = 4,8 см.

3. Вторая сторона: 24 + 18 = 42 см. Третья сторона вдвое меньше второй: 42 : 2 = 21 см. Периметр: 24 + 42 + 21 = 87 см.

Ответ: 87 см.

4. Пусть первая сторона равна x см. Тогда вторая равна x + 41 см, а третья — 4x см. По условию периметр равен 107 см:

x + (x + 41) + 4x = 107;

6x + 41 = 107;

6x = 66;

x = 11.

Первая сторона — 11 см, вторая — 52 см, третья — 44 см. Проверка неравенства треугольника: 11 + 44 = 55 > 52, значит, такой треугольник существует.

Ответ: 11 см, 52 см и 44 см.