Вариант I. № 1. Разложите на простые множители число 262. № 2. Определите, какие числа простые, а какие составные: 35, 47, 111, 153, 133, 675. № 3. Найдите все делители числа 24. № 4. Найдите НОД и НОК для чисел: а) 8, 5 и 12; б) 18 и 42; в) 36 и 124; г) 24, 70 и 122. № 5. Докажите, что числа 392 и 675 взаимно простые.

Разложим число делением на простые множители:

262 = 2 · 131. Число 131 простое, поэтому разложение закончено.

35 = 5 · 7 — составное; 47 — простое; 111 = 3 · 37 — составное; 153 = 3² · 17 — составное; 133 = 7 · 19 — составное; 675 = 3³ · 5² — составное.

Простое число имеет ровно два делителя: 1 и само число.

Разложение: 24 = 2³ · 3. Все положительные делители получаются выбором степеней множителей:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

а) 8 = 2³, 5 = 5, 12 = 2² · 3. Общих простых множителей у всех трёх чисел нет, поэтому НОД = 1. НОК = 2³ · 3 · 5 = 120.

б) 18 = 2 · 3², 42 = 2 · 3 · 7. НОД = 2 · 3 = 6; НОК = 2 · 3² · 7 = 126.

в) 36 = 2² · 3², 124 = 2² · 31. НОД = 2² = 4; НОК = 2² · 3² · 31 = 1116.

г) 24 = 2³ · 3, 70 = 2 · 5 · 7, 122 = 2 · 61. Общий множитель всех чисел — 2, значит НОД = 2. НОК = 2³ · 3 · 5 · 7 · 61 = 51 240.

Разложим числа на простые множители:

392 = 2³ · 7²; 675 = 3³ · 5².

В разложениях нет общих простых множителей, следовательно, НОД(392, 675) = 1. Значит, числа взаимно простые.