Вариант I. 4*. Докажите, что в прямоугольном треугольнике с неравными катетами биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой, проведенными из той же вершины, пополам.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом B. Пусть BM - медиана, BH - высота, а BL - биссектриса угла B. Пусть угол ABM = \(\alpha\). Так как BM - медиана, проведенная из вершины прямого угла, то BM = MC = AM. Значит, треугольник ABM - равнобедренный, и угол BAM = углу ABM = \(\alpha\). Тогда угол BMC = 2\(\alpha\) (как внешний угол треугольника ABM). Так как BH - высота, то угол BHA = 90 градусов. В треугольнике ABH угол BAH = 90 - угол ABH. Угол ABC = 90 градусов, BL - биссектриса, следовательно угол ABL = 45 градусов. Угол между биссектрисой и медианой = угол MBL = угол ABM - угол ABL = \(\alpha\) - 45 градусов. Угол между высотой и биссектрисой = угол HBL = угол ABL - угол ABH = 45 - угол ABH. Докажем, что угол MBL = угол HBL, то есть \(\alpha\) - 45 = 45 - угол ABH, \(\alpha\) + угол ABH = 90, что выполняется, т.к. угол BAM + угол ABH = 90. Значит, биссектриса прямого угла делит угол между высотой и медианой пополам.