Вариант 2 І часть (4 балла) Запишите верный ответ. Верный ответ каждого задания оценивается одним баллом 1. Арифметическая прогрессия задана формулой ап = 2n. Запишите первые пять членов этой прогрессии. 2. Дана геометрическая прогрессия 2; k; 8... Найдите k. 3. Найдите восьмой член арифметической прогрессии, у которой первый член равен -45, а разность равна 4. 4. Найдите сумму первых шести членов геометрической прогрессии, у которой в₁=3, q= 2. ІІ часть (4 балла) Решение заданий 5-6 может иметь краткую запись без обоснования. Правильное решение каждого задания оценивается двумя баллами. 4 5. Между числами 49 и 196 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию. 6. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если с6-48, 016-24. ІІІ часть (3 балла) Решение 7 задания должно иметь обоснование. Необходимо записать последовательные логические действия и объяснения. Правильное решение задания оценивается тремя баллами. 7. Укажите первый положительный член арифметической прогрессии, если а12=-83, d=4,5.

• \( a_1 = 2 \cdot 1 = 2 \)
• \( a_2 = 2 \cdot 2 = 4 \)
• \( a_3 = 2 \cdot 3 = 6 \)
• \( a_4 = 2 \cdot 4 = 8 \)
• \( a_5 = 2 \cdot 5 = 10 \)

Ответ: 2, 4, 6, 8, 10

Для геометрической прогрессии справедливо: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Также, \( b_2 = b_1 \cdot q \) и \( b_3 = b_1 \cdot q^2 \).

По условию, \( b_1 = 2 \) и \( b_3 = 8 \). Тогда:

\[ 8 = 2 \cdot q^2 \]

\[ q^2 = 4 \]

\[ q = \pm 2 \]

Если \( q = 2 \), то \( k = b_2 = 2 \cdot 2 = 4 \).

Если \( q = -2 \), то \( k = b_2 = 2 \cdot (-2) = -4 \).

Ответ: k = 4 или k = -4

Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

В нашем случае: \( a_1 = -45 \), \( d = 4 \), \( n = 8 \).

\[ a_8 = -45 + (8-1) \cdot 4 \]

\[ a_8 = -45 + 7 \cdot 4 \]

\[ a_8 = -45 + 28 \]

\[ a_8 = -17 \]

Ответ: -17

Используем формулу для суммы n первых членов геометрической прогрессии: \( S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q - 1} \).

В нашем случае: \( b_1 = 3 \), \( q = 2 \), \( n = 6 \).

\[ S_6 = \frac{3(2^6 - 1)}{2 - 1} \]

\[ S_6 = \frac{3(64 - 1)}{1} \]

\[ S_6 = 3 \cdot 63 \]

\[ S_6 = 189 \]

Ответ: 189

Пусть \( b_1 = 49 \) и \( b_5 = 196 \). Нам нужно найти \( b_2, b_3, b_4 \).

Для геометрической прогрессии: \( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \). Тогда \( b_5 = b_1 \cdot q^4 \).

\[ 196 = 49 \cdot q^4 \]

\[ q^4 = \frac{196}{49} \]

\[ q^4 = 4 \]

\[ q^2 = 2 \]

\[ q = \pm \sqrt{2} \]

Если \( q = \sqrt{2} \):

• \( b_2 = 49 \cdot \sqrt{2} \)
• \( b_3 = 49 \cdot 2 = 98 \)
• \( b_4 = 49 \cdot 2\sqrt{2} = 98\sqrt{2} \)

Если \( q = -\sqrt{2} \):

• \( b_2 = -49 \cdot \sqrt{2} \)
• \( b_3 = 49 \cdot 2 = 98 \)
• \( b_4 = -49 \cdot 2\sqrt{2} = -98\sqrt{2} \)

Ответ: \( 49\sqrt{2}, 98, 98\sqrt{2} \) или \( -49\sqrt{2}, 98, -98\sqrt{2} \)

Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Тогда:

\[ c_6 = c_1 + 5d = 48 \]

\[ c_{16} = c_1 + 15d = 24 \]

Вычитаем первое уравнение из второго:

\[ 10d = -24 \]

\[ d = -2.4 \]

Подставляем d в первое уравнение:

\[ c_1 + 5(-2.4) = 48 \]

\[ c_1 - 12 = 48 \]

\[ c_1 = 60 \]

Ответ: \( c_1 = 60 \), \( d = -2.4 \)

Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: \( a_n = a_1 + (n-1)d \).

Сначала найдем \( a_1 \):

\[ a_{12} = a_1 + 11d \]

\[ -83 = a_1 + 11 \cdot 4.5 \]

\[ -83 = a_1 + 49.5 \]

\[ a_1 = -83 - 49.5 \]

\[ a_1 = -132.5 \]

Теперь найдем первый положительный член. Нужно найти такое n, чтобы \( a_n > 0 \):

\[ a_n = a_1 + (n-1)d > 0 \]

\[ -132.5 + (n-1)4.5 > 0 \]

\[ (n-1)4.5 > 132.5 \]

\[ n-1 > \frac{132.5}{4.5} \]

\[ n-1 > 29.44 \]

\[ n > 30.44 \]

Значит, первый положительный член будет при \( n = 31 \).

\[ a_{31} = -132.5 + (31-1)4.5 \]

\[ a_{31} = -132.5 + 30 \cdot 4.5 \]

\[ a_{31} = -132.5 + 135 \]

\[ a_{31} = 2.5 \]

Ответ: 2.5