Вариант І 1. Даны параллельные плоскости а и В. Через точки А и В плоскости проведены па- раллельные прямые, пересекающие плоскость в в точках А и В1. Найдите А1В1, если АВ = 5 см. 2. Верно, что плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, па- раллельна другой плоскости? 3. Две плоскости параллельны между собой. Из точки М, не лежащей ни в одной из этих плоскостей, ни между плоскостями, проведены две прямые, пересекающие эти плоскости соответственно в точках А1 и А2, В1 и В2. Известно, что МА₁ = 4 см, В,В2-9 см, А1А2 - МВ₁. Найдите МА2 и МВ2.

Задание 1.

По условию, плоскости α и β параллельны. Прямые AA₁ и BB₁ параллельны и пересекают плоскость β в точках A₁ и B₁ соответственно. Таким образом, AA₁B₁B - параллелограмм (или прямоугольник, если AA₁ и BB₁ перпендикулярны α и β). Следовательно, A₁B₁ = AB.

Если AB = 5 см, то и A₁B₁ = 5 см.

Ответ: 5 см.

---

Задание 2.

Утверждение: Плоскости параллельны, если прямая, лежащая в одной плоскости, параллельна другой плоскости.

Это утверждение неверно. Для параллельности плоскостей необходимо и достаточно, чтобы две непараллельные прямые, лежащие в одной плоскости, были соответственно параллельны двум непараллельным прямым, лежащим в другой плоскости.

Ответ: Неверно.

---

Задание 3.

По условию, плоскости параллельны. Точки A₁, A₂, B₁, B₂ лежат на прямых, пересекающих эти плоскости. Точка M не лежит ни в одной из этих плоскостей, ни между ними. MA₁ = 4 см, B₁B₂ = 9 см, A₁A₂ = MB₁.

Найти MA₂ и MB₂.

Пусть MA₁ = a, A₁A₂ = b, MB₁ = x, B₁B₂ = y.

Тогда MA₂ = MA₁ + A₁A₂ = a + b, MB₂ = MB₁ + B₁B₂ = x + y.

По условию, MA₁ = 4 см, B₁B₂ = 9 см, A₁A₂ = MB₁.

То есть a = 4, y = 9, b = x.

Из подобия треугольников MA₁B₁ и MA₂B₂ следует:

$$\frac{MA_1}{MA_2} = \frac{MB_1}{MB_2}$$ $$\frac{4}{4 + x} = \frac{x}{x + 9}$$ $$4(x + 9) = x(4 + x)$$ $$4x + 36 = 4x + x^2$$ $$x^2 = 36$$ $$x = 6$$

Так как x > 0, то x = 6.

MA₂ = 4 + x = 4 + 6 = 10 см.

MB₂ = x + 9 = 6 + 9 = 15 см.

Ответ: MA₂ = 10 см, MB₂ = 15 см.