Вариант I

1. Угол между диагоналями прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам, следовательно, треугольник ABO равнобедренный (AO = BO). Так как ∠ABO = 30°, то и ∠BAO = 30°. Угол AOB является внешним углом треугольника ABO, и он равен сумме двух других углов, не смежных с ним:

$$ ∠AOB = ∠ABO + ∠BAO = 30° + 30° = 60° $$

Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°.

Ответ: 60°

2. Параллелограмм с биссектрисой угла

a) Доказательство, что треугольник KME равнобедренный.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны, поэтому KM || NP. MKP - секущая. Углы ∠MKE и ∠KPE являются накрест лежащими и равны:

$$ ∠MKE = ∠KPE $$

По условию задачи, KE - биссектриса угла MKP, следовательно, ∠MKE = ∠EKA. Тогда ∠MKE = ∠KPE, а значит, треугольник KME равнобедренный, и KM = ME.

б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

Так как KM = ME = 10 см.

Обозначим сторону KP = x. Тогда периметр параллелограмма равен:

$$ P = 2(KM + KP) = 2(10 + x) = 52 $$

Решим уравнение:

$$ 20 + 2x = 52 $$ $$ 2x = 52 - 20 $$ $$ 2x = 32 $$ $$ x = 16 $$

Таким образом, KP = 16 см.

Ответ: KP = 16 см