Вариант I. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10 см, радиус вписанной в этот треугольник окружности равен 2 см. Найдите периметр треугольника и его площадь.

Обозначим катеты через \(a\) и \(b\), а гипотенузу через \(c=10\) см.

1. Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности определяется формулой \(r=\frac{a+b-c}{2}\). Поэтому \(a+b=c+2r=10+4=14\) см.
2. По теореме Пифагора: \(a^2+b^2=c^2=100\).
3. Возведём сумму катетов в квадрат: \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\). Тогда \(196=100+2ab\), откуда \(ab=48\).
4. Катеты являются корнями уравнения \(x^2-14x+48=0\): \(x_1=6\), \(x_2=8\). Значит, катеты равны 6 см и 8 см.
5. Периметр: \(P=a+b+c=6+8+10=24\) см.
6. Площадь: \(S=\frac{ab}{2}=\frac{6\cdot8}{2}=24\) см².

Ответ: периметр — 24 см, площадь — 24 см².