Вариант I 1. На рисунке 91 AD = DC, ED = DF, ∠1 = ∠2 = 90°. Докажите, что треугольник АВС равнобедренный. 2. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет. Вариант II 1. На рисунке 92 ∠1 = ∠2, <3 = ∠4 = 90°, BD = DC. Дока- жите, что треугольник АВС равнобедренный. 2. Один из острых углов прямоугольного треугольни- ка в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Вариант I

1. Задача 1:

   Докажем, что треугольник ABC равнобедренный.

   Решение:

   • Так как AD = DC, то D - середина AC.
   • Так как ED = DF и ∠1 = ∠2 = 90°, то ED и DF - высоты в треугольниках ABD и DBC соответственно.
   • Рассмотрим треугольники ADE и CDF. У них AD = DC, ED = DF и углы ∠1 = ∠2 = 90°. Следовательно, треугольники ADE и CDF равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
   • Из равенства треугольников ADE и CDF следует, что AE = CF.
   • Рассмотрим треугольники EDB и FDB. У них ED = DF, DB - общая сторона и углы ∠EDB = ∠FDB = 90°. Следовательно, треугольники EDB и FDB равны по двум сторонам и углу между ними.
   • Из равенства треугольников EDB и FDB следует, что EB = FB.
   • Теперь рассмотрим стороны AB и BC треугольника ABC: AB = AE + EB и BC = CF + FB. Так как AE = CF и EB = FB, то AB = BC.
   • Следовательно, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

2. Задача 2:

   Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

   Решение:

   • Пусть меньший катет равен x, тогда гипотенуза равна 18 - x.
   • Так как один из углов равен 60°, то другой острый угол равен 30°. Меньший катет лежит против угла в 30°, поэтому гипотенуза в два раза больше меньшего катета.
   • Составим уравнение: 18 - x = 2x
   • Решим уравнение: 3x = 18, x = 6
   • Итак, меньший катет равен 6 см, а гипотенуза равна 18 - 6 = 12 см.

Вариант II

1. Задача 1:

   Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

   Решение:

   • Так как ∠1 = ∠2, то треугольник BDC равнобедренный, и BD = DC.
   • По условию, BD = DC, значит, треугольник BDC равнобедренный.
   • Так как ∠3 = ∠4 = 90°, то AD - высота и биссектриса треугольника ABC.
   • В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой. Значит, AD - медиана, и BD = DC.
   • Таким образом, треугольник ABC равнобедренный, что и требовалось доказать.

2. Задача 2:

   Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

   Решение:

   • Пусть меньший угол равен x, тогда больший угол равен 2x.
   • Так как сумма углов в прямоугольном треугольнике, не считая прямого угла, равна 90°, то x + 2x = 90, 3x = 90, x = 30°.
   • Меньший угол равен 30°, а больший - 60°.
   • Пусть меньший катет равен x, тогда гипотенуза равна x + 15.
   • Так как меньший катет лежит против угла в 30°, то гипотенуза в два раза больше меньшего катета.
   • Составим уравнение: x + 15 = 2x
   • Решим уравнение: x = 15
   • Итак, меньший катет равен 15 см, а гипотенуза равна 15 + 15 = 30 см.

Result Card

Твой статус: Цифровой атлет

Сэкономил время — спас вечер. Иди чиллить, ты это заслужил

Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке