Вариант I. На рисунке 5 четырёхугольник ABCD — параллелограмм. Луч AN — биссектриса угла BAD, луч BM — биссектриса угла ABC. Докажите, что четырёхугольник ABNM — параллелограмм.

По рисунку точки M и D лежат на одной прямой, точки N и C — на другой; эти прямые — продолжения сторон AD и BC параллелограмма ABCD.

1. В параллелограмме соседние углы supplementary: ∠BAD + ∠ABC = 180°.
2. Так как AN и BM — биссектрисы, углы между AN и BM, образованные соответствующими половинами углов BAD и ABC, в сумме равны 90°. Следовательно, AN ⟂ BM.
3. Из параллельности AD ∥ BC и расположения точек M на AD и N на BC следует, что AM ∥ BN.
4. Для вывода, что ABNM — параллелограмм, нужно также установить AN ∥ BM либо AB ∥ MN. В данных условия и подписей рисунка это не следует: лучи AN и BM, напротив, пересекаются внутри фигуры и перпендикулярны. Поэтому формулировка или обозначения точек на изображении, вероятно, содержат существенную неточность.

При буквальном прочтении условия доказать, что ABNM — параллелограмм, нельзя: у него одна пара противоположных сторон перпендикулярна, а не параллельна. Пришлите, пожалуйста, более чёткое изображение условия или уточните расположение точек M и N.