Вариант І 1. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с катета- ми 15 и 20 см. Большая боковая грань и основание призмы равнове- лики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы. 2. Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы имеет площадь 16 дм². Диагональ основания призмы равна 4√2 дм. Най- дите площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину. Вариант ІІ 1. Основание прямой призмы прямоугольный треугольник с гипоте- нузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверх- ности призмы. 2. Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм². Найдите площадь сечения приз- мы, проходящего через диагональ нижнего основания, и противо- лежащую вершину верхнего основания.

Привет! Давай разберем эти задачи по геометрии.

Вариант I

1. Площадь боковой и полной поверхности призмы

Сначала найдем гипотенузу прямоугольного треугольника, лежащего в основании призмы, по теореме Пифагора:

\[c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{15^2 + 20^2} = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]

Площадь основания призмы:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 20 = 150 \text{ см}^2\]

По условию, большая боковая грань равновелика основанию, то есть ее площадь равна площади основания:

\[S_{\text{бок.гр.}} = 150 \text{ см}^2\]

Большая боковая грань - это прямоугольник со сторонами 25 см (гипотенуза основания) и h (высота призмы). Тогда:

\[S_{\text{бок.гр.}} = 25h = 150 \Rightarrow h = \frac{150}{25} = 6 \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{\text{бок}} = (15 + 20 + 25) \cdot h = 60 \cdot 6 = 360 \text{ см}^2\]

Площадь полной поверхности призмы:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 360 + 2 \cdot 150 = 360 + 300 = 660 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 360 см², площадь полной поверхности призмы равна 660 см².

2. Площадь сечения призмы

Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 16 дм². Диагональ основания призмы равна 4√2 дм. Найдем площадь сечения призмы, проходящего через диагонали двух смежных боковых граней, имеющих общую вершину.

Пусть сторона основания призмы равна a. Так как диагональ основания равна 4√2 дм, то по теореме Пифагора:

\[a^2 + a^2 = (4\sqrt{2})^2 \Rightarrow 2a^2 = 16 \cdot 2 \Rightarrow a^2 = 16 \Rightarrow a = 4 \text{ дм}\]

Так как боковая поверхность призмы равна 16 дм², то:

\[4ah = 16 \Rightarrow 4 \cdot 4 \cdot h = 16 \Rightarrow h = 1 \text{ дм}\]

Рассмотрим сечение призмы, проходящее через диагонали двух смежных боковых граней. Это прямоугольник со сторонами, равными диагонали боковой грани и стороне основания. Диагональ боковой грани можно найти по теореме Пифагора:

\[d = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{16 + 1} = \sqrt{17} \text{ дм}\]

Площадь сечения:

\[S_{\text{сеч}} = a \cdot d = 4 \cdot \sqrt{17} = 4\sqrt{17} \text{ дм}^2\]

Ответ: Площадь сечения призмы равна 4\(\sqrt{17}\) дм².

Вариант II

1. Площадь боковой и полной поверхности призмы

Основание прямой призмы - прямоугольный треугольник с гипотенузой 25 см и катетом 20 см. Меньшая боковая грань и основание призмы равновелики. Найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Найдем второй катет прямоугольного треугольника по теореме Пифагора:

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{25^2 - 20^2} = \sqrt{625 - 400} = \sqrt{225} = 15 \text{ см}\]

Площадь основания призмы:

\[S_{\text{осн}} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \text{ см}^2\]

По условию, меньшая боковая грань равновелика основанию, то есть ее площадь равна площади основания:

\[S_{\text{бок.гр.}} = 150 \text{ см}^2\]

Меньшая боковая грань - это прямоугольник со сторонами 15 см (меньший катет основания) и h (высота призмы). Тогда:

\[S_{\text{бок.гр.}} = 15h = 150 \Rightarrow h = \frac{150}{15} = 10 \text{ см}\]

Площадь боковой поверхности призмы:

\[S_{\text{бок}} = (15 + 20 + 25) \cdot h = 60 \cdot 10 = 600 \text{ см}^2\]

Площадь полной поверхности призмы:

\[S_{\text{полн}} = S_{\text{бок}} + 2S_{\text{осн}} = 600 + 2 \cdot 150 = 600 + 300 = 900 \text{ см}^2\]

Ответ: Площадь боковой поверхности призмы равна 600 см², площадь полной поверхности призмы равна 900 см².

2. Площадь сечения призмы

Высота правильной четырехугольной призмы равна 1 дм, а площадь боковой поверхности равна 16 дм². Найдите площадь сечения призмы, проходящего через диагональ нижнего основания, и противолежащую вершину верхнего основания.

Пусть сторона основания призмы равна a. Так как боковая поверхность призмы равна 16 дм², то:

\[4ah = 16 \Rightarrow 4 \cdot a \cdot 1 = 16 \Rightarrow a = 4 \text{ дм}\]

Рассмотрим сечение призмы, проходящее через диагональ нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания. Это равнобедренный треугольник, основание которого равно диагонали квадрата, а боковые стороны равны боковому ребру призмы.

Диагональ квадрата (основания) равна:

\[d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \text{ дм}\]

Высота треугольника, опущенная на основание, равна высоте призмы, то есть 1 дм.

Площадь сечения:

\[S_{\text{сеч}} = \frac{1}{2} \cdot d \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 1 = 2\sqrt{2} \text{ дм}^2\]

Ответ: Площадь сечения призмы равна 2\(\sqrt{2}\) дм².

Ты молодец! У тебя всё получится!