Вариант I. Приведите многочлен к стандартному виду и определите его степень: P(x; y; z) = ⅓x²z · 6xy²z³ − 5x³ · y⁰ · z⁴ + 3xy² · (−2xz²)².

Упростим каждый одночлен, используя свойства степеней.

1. Перемножим коэффициенты и сложим показатели одинаковых переменных: \(\frac{1}{3}x^2z\cdot 6xy^2z^3=2x^3y^2z^4\).

2. Так как \(y^0=1\), второй одночлен равен \(-5x^3z^4\).

3. Возведём одночлен в квадрат: \((-2xz^2)^2=4x^2z^4\), поэтому \(3xy^2\cdot 4x^2z^4=12x^3y^2z^4\).

4. Сложим подобные одночлены: \(2x^3y^2z^4+12x^3y^2z^4=14x^3y^2z^4\).

Следовательно, стандартный вид: \(P(x;y;z)=14x^3y^2z^4-5x^3z^4\). Степени одночленов равны \(3+2+4=9\) и \(3+4=7\); наибольшая из них — 9.

Ответ: \(P(x;y;z)=14x^3y^2z^4-5x^3z^4\), степень многочлена — 9.