Вариант I 1. Решить уравнение: 1) (\frac{1}{5})^{2-8x} = 25; 2) 4^x + 2^x - 20 = 0. 2. Решить неравенство (\frac{3}{4})^x > 1\frac{1}{3}. 3. Решить систему уравнений \begin{cases} x - y = 4, \\ 5^x+y = 25. \end{cases} 4. Решить неравенство: 1) (√5)^{x-6} < \frac{1}{5}; 2) (\frac{2}{13})^{x^2-1} > 1. 5. Решить уравнение 7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x. Вариант II 1. Решить уравнение: 1) 0,1^{2x-3} = 10; 2) 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0. 2. Решить неравенство (\frac{1}{5})^x < \frac{5}{6}. 3. Решить систему уравнений \begin{cases} x + y = -2, \\ 6^x+5y = 36. \end{cases} 4. Решить неравенство: 1) (\sqrt[3]{3})^{x+6} > \frac{1}{9}; 2) (\frac{12}{7})^{x^2-4} ≤ 1. 5. Решить уравнение 3^{x+3} + 3^x = 5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x.

Вариант I

---

1. Решить уравнение:

1. (\{\frac{1}{5}\})^{2-8x} = 25

   (\{5^{-1}\})^{2-8x} = 5^2

   5^{-2+8x} = 5^2

   -2 + 8x = 2

   8x = 4

   x = \{\frac{4}{8}\} = \{\frac{1}{2}\} = 0.5

   Ответ: 0.5

2. 4^x + 2^x - 20 = 0

   (2^2)^x + 2^x - 20 = 0

   (2^x)^2 + 2^x - 20 = 0

   Пусть 2^x = t, тогда

   t^2 + t - 20 = 0

   D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2

   t_1 = \{\frac{-1 + 9}{2}\} = \{\frac{8}{2}\} = 4

   t_2 = \{\frac{-1 - 9}{2}\} = \{\frac{-10}{2}\} = -5

   2^x = 4 \Rightarrow 2^x = 2^2 \Rightarrow x = 2

   2^x = -5 - нет решений, т.к. 2^x > 0 при любом x

   Ответ: 2

---

2. Решить неравенство:

(\{\frac{3}{4}\})^x > 1\{\frac{1}{3}\}

(\{\frac{3}{4}\})^x > \{\frac{4}{3}\}

(\{\frac{3}{4}\})^x > (\{\frac{3}{4}\})^{-1}

Т.к. \{\frac{3}{4}\} < 1, то знак неравенства меняется

x < -1

Ответ: x < -1

---

3. Решить систему уравнений:

\begin{cases} x - y = 4 \\ 5^{x+y} = 25 \end{cases}

\begin{cases} x - y = 4 \\ 5^{x+y} = 5^2 \end{cases}

\begin{cases} x - y = 4 \\ x + y = 2 \end{cases}

Сложим уравнения:

2x = 6 \Rightarrow x = 3

Подставим x в первое уравнение:

3 - y = 4 \Rightarrow y = 3 - 4 = -1

Ответ: x = 3, y = -1

---

4. Решить неравенство:

1. (\sqrt{5})^{x-6} < \{\frac{1}{5}\}

   (5^{\{\frac{1}{2}\}})^{x-6} < 5^{-1}

   5^{\{\frac{x-6}{2}\}} < 5^{-1}

   \{\frac{x-6}{2}\} < -1

   x - 6 < -2

   x < 4

   Ответ: x < 4

2. (\frac{2}{13})^{x^2-1} > 1

   (\frac{2}{13})^{x^2-1} > (\frac{2}{13})^0

   Т.к. \{\frac{2}{13}\} < 1, то знак неравенства меняется

   x^2 - 1 < 0

   x^2 < 1

   -1 < x < 1

   Ответ: -1 < x < 1

---

5. Решить уравнение:

7^{x+1} + 3 \cdot 7^x = 2^{x+5} + 3 \cdot 2^x

7 \cdot 7^x + 3 \cdot 7^x = 32 \cdot 2^x + 3 \cdot 2^x

10 \cdot 7^x = 35 \cdot 2^x

2 \cdot 7^x = 7 \cdot 2^x

\{\frac{7^x}{2^x}\} = \{\frac{7}{2}\}

(\frac{7}{2})^x = (\frac{7}{2})^1

x = 1

Ответ: 1

Вариант II

---

1. Решить уравнение:

1. 0.1^{2x-3} = 10

   (\frac{1}{10})^{2x-3} = 10

   (10^{-1})^{2x-3} = 10^1

   10^{-2x+3} = 10^1

   -2x + 3 = 1

   -2x = -2

   x = 1

   Ответ: 1

2. 9^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0

   (3^2)^x - 7 \cdot 3^x - 18 = 0

   (3^x)^2 - 7 \cdot 3^x - 18 = 0

   Пусть 3^x = t, тогда

   t^2 - 7t - 18 = 0

   D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121 = 11^2

   t_1 = \{\frac{7 + 11}{2}\} = \{\frac{18}{2}\} = 9

   t_2 = \{\frac{7 - 11}{2}\} = \{\frac{-4}{2}\} = -2

   3^x = 9 \Rightarrow 3^x = 3^2 \Rightarrow x = 2

   3^x = -2 - нет решений, т.к. 3^x > 0 при любом x

   Ответ: 2

---

2. Решить неравенство:

(\frac{1}{5})^x < \frac{5}{6}

5^{-x} < \frac{5}{6}

-x < log_5{\frac{5}{6}}

x > -log_5{\frac{5}{6}}

x > -log_5{5} + log_5{6}

x > -1 + log_5{6}

Ответ: x > -1 + log_5{6}

---

3. Решить систему уравнений:

\begin{cases} x + y = -2 \\ 6^x+5y = 36 \end{cases}

Выразим x из первого уравнения:

x = -2 - y

Подставим x во второе уравнение:

6^{-2-y} + 5y = 36

(\frac{1}{6})^{2+y} + 5y = 36

\{\frac{1}{36 \cdot 6^y}\} + 5y = 36

Решим методом подбора:

Пусть y = 2, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^2}\} + 5 \cdot 2 = \{\frac{1}{36 \cdot 36}\} + 10
eq 36

Пусть y = 1, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^1}\} + 5 \cdot 1 = \{\frac{1}{36 \cdot 6}\} + 5
eq 36

Пусть y = 0, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^0}\} + 5 \cdot 0 = \{\frac{1}{36 \cdot 1}\} + 0
eq 36

Пусть y = -1, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^{-1}}\} + 5 \cdot (-1) = \{\frac{6}{36}\} - 5 = \{\frac{1}{6}\} - 5
eq 36

Пусть y = -2, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^{-2}}\} + 5 \cdot (-2) = \{\frac{36}{36}\} - 10 = 1 - 10 = -9
eq 36

Пусть y = -3, тогда

\{\frac{1}{36 \cdot 6^{-3}}\} + 5 \cdot (-3) = \{\frac{216}{36}\} - 15 = 6 - 15 = -9
eq 36

Система не имеет решений.

Ответ: нет решений

---

4. Решить неравенство:

1. (\sqrt[3]{3})^{x+6} > \{\frac{1}{9}\}

   (3^{\{\frac{1}{3}\}})^{x+6} > 3^{-2}

   3^{\{\frac{x+6}{3}\}} > 3^{-2}

   \{\frac{x+6}{3}\} > -2

   x + 6 > -6

   x > -12

   Ответ: x > -12

2. (\frac{12}{7})^{x^2-4} ≤ 1

   (\frac{12}{7})^{x^2-4} ≤ (\frac{12}{7})^0

   Т.к. \{\frac{12}{7}\} > 1, то знак неравенства не меняется

   x^2 - 4 ≤ 0

   x^2 ≤ 4

   -2 ≤ x ≤ 2

   Ответ: -2 ≤ x ≤ 2

---

5. Решить уравнение:

3^{x+3} + 3^x = 5 \cdot 2^{x+4} - 17 \cdot 2^x

27 \cdot 3^x + 3^x = 80 \cdot 2^x - 17 \cdot 2^x

28 \cdot 3^x = 63 \cdot 2^x

4 \cdot 3^x = 9 \cdot 2^x

4 \cdot 3^x = 9 \cdot 2^x

\{\frac{3^x}{2^x}\} = \{\frac{9}{4}\}

(\frac{3}{2})^x = (\frac{3}{2})^2

x = 2

Ответ: 2